故 n l im ana, n l im bnb.
“”已知 n l iman a,n l imbn b 即，
0,N0,
n
N,恒
有an
a
2，bn
b
2
又n (an a)i(bn b)
an a bn b 故nl i m n .
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例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其 极限。
⑴若级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则对 满足 n0
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
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证明 (1) n0cnz0 n收,则 敛 ln im cnz0 n0，即
0 ， N 0 ， nN ， 恒 cnz0 n 有
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1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{fn(z)}z D , n1 ,2 , fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 ) n 1 ---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和 n sn (z)f1(z)f2(z) fn (z) fk(z) k 1 ---级数的部分和
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
?
若 n收敛 n收敛(例.如:
n1
n1
n1
(1)ni n
)
定义 若n收敛，则称n为绝对收敛；
n1n1ຫໍສະໝຸດ 若n发散，而n收敛，则称n为
n1
n1
n1
条件收.敛
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例2 下列级数是否收敛否 ？绝 是对收敛？
1 i
(8 i)n ( 1 )n i
又
(1)n 条 件 收
敛 原 ，级
数
非
绝. 对
n1 n
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练习： 讨 论 11ein的 敛 散; 性
n0 n
讨论
i
n
的敛散性 ;
n1 n
讨
论
n1
ln(1 in
1) n敛
散
性 .
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§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
记ln 作 i m n,或n 当 时， n, 此 时 ， 也{称 n}收 复敛 数 .于 列
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n即， 0,N0,nN,恒有 n
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又 n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan bnbn
n0
(1)
zn
1 ni 1ni
(3)zn (1
i )n 3
ni
(2) zn e 2
(4)
zn
(1
1)eni n
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2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12n---无穷级数 n1
▪级数的前面n项的和
n
sn12 n i ---级数的部分和
i1
▪若
部
分
和
数
列{
s
n
收 }
敛
－ 级 数n称 为 收 敛
n1
ln i m sn s称为级数的和
不收敛 －级数 n称为发散 n1
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例2
判别
n1
3i的敛散性。 2n
解 snk n 12 3 k i3 i(12 1 n)又 ,ln i s m n3 i
级数收 ,且敛 和3i为 .
定理2 级 数 n收敛 an和 bn都收敛。
▪ 若z0D ln im sn(z0)s(z0),称级(1数 )在z0收敛 ,
其 和s为 (z0), ln im sn(z0)不 存 在 ， 称 (1)发 级散 数。
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若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s (z ) f1 (z ) f2 (z ) fn (z ) ＋ ---级数(1)的和函数
n1
n1
n1
证明 sn n k n (ak ibk) n ak i n bk nin
k1
k1
k1
k1
由定理ln１ im s， n aibln im n a,ln im n b
an和bn都收敛。
n1
n1
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由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。
性质 级数 n收敛的必要条:ln i件 m n 0.
第四章 级 数
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§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
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1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ： ＝ 中 a n in b ,
又设复常数：aib，
若0,N0,当nN,恒 有 n， 那 么 称 为 复 {n数 }当n列 时 的 极 限
(1 ) (1 )(2 ) n 1n n n 0 n !
(3 ) (
n 1
n 2 n )
解 (1 ) n 1n 1发n 散 1n 1 2收 ， 敛 n 1n 1(1 ， n i)发. 散
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
取 M ma,c x 0,c1z0,c2z0 2, ,cN z0 N
故 cnz0 nM ,n0 ,1 ,2 ,
若zz0,
则z q1 z0
cnzn cnz0n
n
z Mqn, z0
由于 Mqn收敛,由比较判别cn法 zn 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛。
n0
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(2)用反证法，设z1,当z1 z0， 有cnz1n收敛，
n1
定理3 若 n收 敛 n收敛 ， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
由定理
2
得
收敛
n
。
n
n
k k, nn
n1
k1
k1
n1
n1
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由定理3的证明过程，及不等式 an2bn2 anbn有:
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令 zz0 (2) cnk k0
研究级(3)数 并不失一般性。
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2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）