1
dz
z
z ndz
z n1
zn
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法 方法1: 比值法
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
如果 lim cn1 0,那么收敛半径 R 1 .
n cn
方法2: 根值法
如果 lim n n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2020/8/18
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
2
1.复数列
设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f (z) zn n0
收敛半径 z 1
zn 1 z z2 zn
n0
lim 1 z n1 1 , n 1 z 1 z
最常用的级数！
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
cn
0,
那么收敛半径
R 1.
1 , 0 ;
即
R
,
0;
0, .
12
例1 求下列幂级数的收敛半径
(1)
zn n2
n0
(2) zn n0 n!
(3) n!zn
n0
(4) zk2 .
k 1
解
(1)
由lim n
cn1 cn
lim
n
n2 (n 1)2
1,
得
R 1.
(2) 由lim cn1 lim n! 0, 得 R . n cn n (n 1)!
19
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
1
(1 z)2
( 1 ) 1 z
(z n )
n0
nz n1 ,
n0
收敛半径 z 1 收敛半径 z 1
1
(1 z)3
21
(
(1
1 z
)
2
)
21
n0
(nz
n
)
21
n0
n(n
1)z n2 ,
收敛半径
z
1
…
ln(1z) z
n收敛
n1
lim
n
n
0
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 则称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
6
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面 n 项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
7
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算
称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那么级数 n收敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那么级数 n发散.
n1
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
充要条件Βιβλιοθήκη 收敛nan与
bn都收敛
n1
n1
n1
必要条件
(3) 由lim cn1 lim (n 1)! , 得 R 0.
n cn
n n!
13
(4)
zk2
k 1
因为级数是缺项级数,
故
1 R
lim n
n
Cn
1,
即Cn
0, 1,
R 1.
n k2; n k2.
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
9
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除z 0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
10
y
o
R.
.
收敛圆 收敛半径
n0
cn(z a)n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
8
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那么对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 那么对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
1) 定义 设{n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z) 解析且满足 g(z) r, 那么当 z R
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
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复变幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径 为 R, 那么
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n