课前回顾
柯西积分定理
柯西积分定理 原函数与不定积分 复合闭路定理
柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 1
本次课讲述的内容
复数项级数
复数项级数的定义 敛散性判别
幂级数
函数项级数 幂级数 幂级数的收敛圆和收敛半径
sn n i n
{ n } 和 { n } 根据{sn}极限存在的充要条件，可知 的极限都存在，因此级数 a n 和 bn 都收敛。
n 1 n 1
定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实 数项级数的敛散性判定方法来判定。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 11
级数的概念
定义：设 {n } {an ibn } (n 1,2, ) 为一复数列， 则称如下表达式


n 1
n
1 2
n
为复数项无穷级数。
部分和：无穷级数最前面n项的和：
sn
n

k 1
k
1 2
n
称为级数的部分和。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 7
1z
1 zn 1 lim sn lim n n 1 z 1z
极限存在，因此当|z|<1时级数收敛。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 9
复数项级数收敛的充要条件
a n 和 bn 都收敛。 实数项级数 n 1 n 1
n (an 定理2：级数 n 1 n 1



ibn )
收敛的充要条件是：
证明：因为级数的部分和
s n 1 2 (a1 a 2 n i n
n an ) i (b1 b2 bn )
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《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 10
复数项级数收敛的充要条件
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 2
复数列的极限
定义：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn=an +ibn ，又假设α=a+ib为一个确定的复数，如果任意给 定ε>0，都能相应地找到一个正数N(ε)，使得下式在 n>N时成立： n 那么称α为复数列{αn}(n=1,2,…)在n→∞时的极限， 并记为： lim n
n
也称复数列{αn}收敛于α。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 3
复数列收敛的条件
是： 定理1：复数列{αn}(n=1,2,…)收敛于α的充要条件
n
lim an a,
n
lim bn b
证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，
n
lim n
复数列收敛的条件
从而： n (a n ibn ) (a ib)
(a n a ) i (bn b) an a bn b
根据复数列：可将复数列的敛散性转化为判别两个 实数列的敛散性。
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复数项级数收敛的必要条件
n (an 定理3：级数 n 1 n 1

ibn )
收敛的必要条件是：
n
lim n 0
证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。 该定理说明，
n
lim n 0

n 1

n
发散。
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《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 13
n
lim bn b 同理可以证明： n lim an a 、 lim bn b ，根据实数列 反之，如果 n n 极限的定义可知，当n>N时，有以下两式成立：
an a

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2
, bn b

2《 积分变换与复变函数》
第7讲 - 5
例：判断级数 e 的敛散性。
in n 1

解：注意到，
n
lim n lim e in 0
n
根据定理3可知，该级数发散。 以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的 敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不 能判断，则进一步利用定理2或定义来判断。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 14
1 i 例：判断级数 (1 ) 的敛散性。 n n 1 n

解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚 部的敛散性， 1 实部 为调和级数，是发散的； n 1 n 1 虚部 2 是收敛的； n 1 n 根据定理2可知，原级数发散。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 12
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 8
2018年11月27日星期二
例：判断级数
n z 的敛散性。 n 0

解：考察级数的部分和可知，
n 1 z 2 n -1 sn 1 z z z ( z 1), 1z n 1z 当|z|<1时， sn ，对部分和取极限可得：
那么对于任意给定的 0 ，就能找到一个正数 N，当n>N时， (an ibn ) (a ib)
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 4
复数列收敛的条件
从而有： an a (an a) i(bn b)
根据实数列极限的定义可知，上式表明： lim an a
级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛，那么级数 并将极限 lim s s
n n
收敛，
n 1 n

称作级数的和。 如果部分和数列{sn}不收敛，那么级数
发散。
n 1 n

说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是，利用极限
n
lim sn s