∴ FG 1 EG 2
(在直角三角形中， 如果一个锐角等于30 °， 那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴ GD 1 EG
2
练P72-3.如图，已知∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CＢA， AC=1，求AD的长.
B
证：∵∠C=90°，∠A=30°
∴∠B=60°
∵BD平分∠CＢA,
C
D
C
B
直直角角三三角角形形性性质质定定理理22推推论论21：：
在在直直角角三三角角形形中中，，如如果果一一条个锐 直角角等边于等30于°斜，边那的么一它半所，对那的么直它角所对 的边角等等于于斜3边0 的°一. 半.
A
在在RtR△t△ABACB中C中，，∠∠ACABC=B9=0900，0，
∵∵CB∠= A12=3A0B° ∴∴∠CBA==3120°AB
D
B
C
E
∴∠BAE=∠AEF
5、已知:如图,△ABC,∠A=30°,∠ACB=90°,M、D分别为AB、 MB的中点. 求证：CD⊥AB
证：∵ ∠ACB=90°，
M为AB中点
∴ CM=BM=
1 2
AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵∠A=30° ∴BC= 1 AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∵ AD=2CD（2）∵∠A=30°，∠C=90°C ，
B
∴AD=2DE
∴∠ABC =60°
又DEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAB
∵ BD平分∠ABC
∴∠A=30° ∴∠ABD=1 A B C
2
=30° ，
∴∠A=∠ABD ∴AD=BD ∴D在AB的中垂线上
变式：已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点
D，DE垂直平分AB，点E为垂足.求证：（1）∠A=30°
（2）AD=2CD
（2）∵DE⊥AB ，∠A=30°
（1）证：∵DE垂直平分AB ∴AD=2DE
∴AD=DB
∵ BD平分∠ABC，
∴∠A=∠ABD
∠C=90°，DE⊥AB
∵ BD平分∠ABC
∴DE=CD
∴∠ABD=∠DBC
∴ AD=2DC A
A
∴∠CBD=∠DBE=30°，
∴∠A=∠ABD
∴AD=DB
∵∠CBD=30°，∠C=90°∴BD=2CD
∴AD=2CD
∴AC=3CD
∵AC=1 ∴CD= 1 ，∴AD= 2
3
3
练P73-4.如图，已知∠C=90°，DE⊥AB，AD=2CD，求证： ∠A=30°.
证：∵BD平分∠AＢC，∠C=90°，DE⊥AB
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
∵∠C+∠A+∠ABC =180°
∴3∠A=90° ∴∠A=30°
E D
C
B
7、已知:如图,△ABC,∠BAC=90o,∠C=30o,EF垂直平分AC，点D
在BA的延长线上，AD 1 EC .求证：（1） △DAF ≌△EFC
（2）DF=BE
2
D
证：(1)∵EF垂直平分AC
C
B
练P72-2.如图，已知∠BAC=30°，G为∠ＢAC平分线上一点，
EG∥AC，GD⊥AC，求证：GD 1 EG
B
2
F
证：作GF⊥AB于F
E
G
∵ＡG平分∠ＢAC,GD⊥AC
∴GF=GD，
∵EG∥AC
A
C D
∴∠FEG=∠BAC
∵∠BAC=30°，∴∠FEG=30°
∵GF⊥AB ∴∠BFG=90°
1
∵CO、AO平分∠ACB，∠BAC
1
1
O B
2
∴
∠1=
BAC 2
，∠2= BCA 2
C ∴∠1+∠2=1 BAC 1 BCA =90°÷2=45
2
2
∵ ∠1+∠2+∠AOC=180°
∴∠AOC=180°－45°=135°
3、一天,小华随老师和同学去爬山.回到家,妈妈 问:“你们爬的山大约有多高？”小华说：“我也 不知道，只是老师带领我们测得小山的坡度约为 30°，从山下到山顶沿直线大约要走1000米.”你 能帮小华算出山的高度吗？
2
C
∴BC=CM
∵ D为BM中点
∴ CD⊥AB
A
M
D
B
6、已知：如图，在△ABC,∠C=90°,D为直角边AC上的一个点，
BD平分∠ABC，AD=2CD. 求证：（1）∠A=30° A （2）点D在线段AB的垂直平分线上.
证：（1）作DE⊥AB于E
E
∵ BD平分∠ABC，∠C=90°，
D
∴DE=CD
直角三角形的性质定理
直角三角形性质定理1：直角三角形的 两个锐角互余。
在Rt△ABC中， ∠C=900，
∴∠A +∠B=900 A
C B
直角三角形性质定理2：在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半。
A
在Rt△ABC中，∠ACB=900，
∵ CD是斜边AB上的中线
D
∴CD= 1 AB
2
(CD=AD=BD)
A
？
C
1000米 30°
Rt△ABC中，∠ACB=900， ∵ ∠B=30°
∴
AC=
1 2
AB
=500米
4、已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE ⊥ AD， BE交AD的延长线于点E,点F是AB的中点.
求证:EF∥AC 证：∵BE⊥ADC,
A
∴∠AEB=90°
F
∵F为AB中点
∴AF=EF
A
∴∠EFC=90°，AF=FC
F
∵∠C=30° ∴EF 1 EC
2
∵ AD 1 EC 2
∴EF=AD
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=90°
B
E
C
在∆DAF与∆EFC中
DA＝EF，
∠DAF=∠EFC
AF=FC，
∴∆DAF≌∆EFC（SAS）
∴ ∠EFC= ∠DAF
7、已知:如图,△ABC,∠BAC=90o,∠C=30o,EF垂直平分AC，点D
在BA的延长线上，AD 1 EC .求证：（1） △DAF ≌△EFC
（2）DF=BE
2
D
(2)证：联AE
∵EF垂直平分AC
A F
∴AE=EC
B
∴∠C=∠EAC=30°
E
C
∵∆DAF≌∆EFC ∴DF=EC=AE
∴BE=AE ∴BE=DF
∵∠BAC=90°，
∠C=30°
∴∠B=60°，
∴DE=DC(角平分线上的点到角两边距离相等)
∵AD=2CD ∴AD=2DE，
C D
∵DE⊥AB ∴∠DEA=90°
B
E
A
∴∠A=30°
1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=6（0
）
°
2、如图，直角三角形的两个锐角的平分线所构
成的钝角是多少度？
A
证：∵ ∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°