第四讲 机械的平衡一、刚性转子的静平衡计算(1)静不平衡转子： 对于轴向尺寸较小的盘状转子(即轴向宽度b 与其直径D 之比b ／D < 0．2的转子),其质量可以近似认为分布在垂直于其回转轴线的同一平面内。

若其质心不在回转轴线上,则当其转动时,其偏心质量就会产生惯性力。

由于这种不平衡现象在转子静态时即可表现出来,故称其为静不平衡转子(2)静平衡及其条件： 对于静不平衡的转子进行静平衡时,可利用在转子上增加或除去一部分质量的方法，使其质心与回转轴心重合,即可使转子的惯性力得以平衡,称为静平衡。

静平衡的力学条件:其惯性力的矢量和应等于零或质径积的矢量和应等于零。

静平衡条件表达：形式一： 力条件：=+=∑∑b IiF F F形式二：质径积条件：=+∑b b ii r m rm(3)静平衡的计算： 即根据转子的结构,计算确定需在转子上增加或除去的平衡质量,使其设计成平衡的。

对于静不平衡的转子,无论有多少个偏心质量,只需进行单面平衡。

例1 图示盘形回转件上存在三个偏置质量，已知m 110= kg ，m 215= kg ，m 310= kg ，r 150= mm ，r 2100= mm ，r 370= mm ，设所有不平衡质量分布在同一回转平面内，问应在什么方位上加多大的平衡质径积才能达到平衡？解：111050500 kg mm m r =⨯=⋅ 22151001500 kg mm m r =⨯=⋅ 331070700 kg mm m r =⨯=⋅1r 与3r 共线，可代数相加得 3311700500200 kg mm m r m r -=-=⋅ 方向同3r r平衡条件：b b 1122330m r m r m r m r +++=r r r r所以依次作矢量()331122,m r m r m r +r r r ，封闭矢量b b m r r即所求，如图示。

22b b 20015001513.275 kg mm m r =+=⋅0200270arctg277.5951500θ=+=︒b b例1图解例 2 图示盘状转子上有两个不平衡质量：m 115=.kg ，m 208=.kg ，r 1140= mm ，r 2180= mm ，相位如图。

现用去重法来平衡，求所需挖去的质量的大小和相位(设挖去质量处的半径r =140mm )。

解：不平衡质径积 11210 kg mm m r =⋅22144 kg mm m r =⋅静平衡条件1122b b 0m r m r m r ++=r r r解得b b 140 kg mm m r =⋅ 例14-2图应加平衡质量b 140/140 1 kg m ==挖去的质量应在b b m r r矢量的反方向，140mm 处挖去1kg 质量。

例2图解二、刚性转子的动平衡计算(1)动不平衡转子 ：对于轴向尺寸较大的转子(即b ／D ≥0.2的转子),其质量不可以近似认为分布在垂直于其回转轴线的同一平面内,而往往是分布在若干个不同的回转平面内。

这种不平衡现象只有在转子运转的情况下才能显示出来,故称其为动不平衡转子。

(2)动平衡及其条件 对于动不平衡的转子,为使转子在运转时其各偏心质量产生的惯性力和惯性力偶矩同时得以平衡。

需在选择两个平衡基面,并适当地各加一平衡质量,使两平衡基面内的惯性力之和分别为零,这个转子便可得以动平衡。

动平衡的力学条件：各偏心质量(包括平衡质量)的惯性力的矢量和为零,以及由这些惯性力所构成的力矩的矢量和也为零。

,即∑F= 0 ∑M = 0 (3)动平衡步骤：①先计算出各平面的惯性力：1I F ,2I F 及3I F 。

②由理论力学可知，一个力可以分解为与其相平行的两个分力。

先选定两个回转平面Ⅰ和Ⅱ——平衡基面（将来即在这两个面上增加或减去平衡质量）。

其次，将各离心惯性力分解到平面Ⅰ和Ⅱ上。

由于：L l F F I 1⋅=，L l L F F 1-⋅=I I ∴L l F F I I I 111⋅= L l L F F I I 111-⋅=I IL l F F I I I 222⋅= L l L F F I I 222-⋅=I I L l F F I I I 333⋅= L l L F F I I 333-⋅=I I③根据静平衡原理，分别在平衡基面Ⅰ及Ⅱ内作平衡求解。

以平衡基面Ⅰ为例：则在该平衡基面内，各偏心质量（含平衡质量）产生的惯性力的矢量和为零，0=∑IF。

注：动平衡的构件一定是静平衡，静平衡的转子不一定是动平衡。

例3 高速水泵的凸轮轴系由三个互相错开120︒的偏心轮组成，每一偏心轮的质量为m ，其偏心距为r ，设在平衡平面A 和B 上各装一个平衡质量m A 和m B ，其回转半径为2r ，其他尺寸如图示。

试求m A 和m B 的大小和方向(可用图解法)。

解：偏心轮的不平衡质径积C CD DE E m r m r m r mr ===分别分解到平衡平面A 和B()5/4250/200mr mr r m A C C ==()5/250/50mr mr r m B C C ==()2/250/125mr mr r m A D D ==()2/250/125mr mr r m B D D ==()5/250/50mr mr r m A E E ==()5/4250/200mr mr r m BE E ==动平衡条件()()()()0b b =+++A E E A D D A C C A r m r m r m r m ρρρρ ()()()()0b b =+++BE E B D D B C C B r m r m r m r m ρρρρ解得：()2/b b mr r m A =因为 b 2r r =，所以()m m m A A 25.0b ==，()2/b b mr r m B=因为r r b =2，所以()m m m B B 25.0b ==方向如图示。

例3图解例4 一回转体上有三质量：1 3 kg m =，2 1 kg m =，3 4 kg m =，绕z 轴等角速度旋转，160 mm r =，2140 mm r =，390 mm r =，其余尺寸如图示，试用图解法求应在平面Ⅰ和Ⅱ处各加多大平衡质量才能得到动平衡(设平衡质量bI m 和bII m 离转动轴线的距离bI r 、bII r 为bI bII 100 mm r r ==)。

例14-4图解：偏心质径积11m r ，22m r ，33m r 分别向Ⅰ，Ⅱ两平衡平面内分解。

11130360146.25 kg mm160m r ''=⨯⨯=⋅113036033.75 kg mm 160m r ''''=⨯⨯=⋅221601140140 kg mm 160m r ''=⨯⨯=⋅220m r ''''=334049090 kg mm160m r ''=⨯⨯︒=⋅33120490270 kg mm160m r ''''=⨯⨯=⋅分别在Ⅰ，Ⅱ两平衡平面内进行静平衡。

kg mm10mm mr μ⋅=n n bI bI b b 65 kg mmm r m r ==⋅""bII bII b b 240 kg mm m r m r ==⋅bI 0.65 kgm =bII 2.4 kgm = 方向如图。

解：①转速ω=2πn/60=31.4m1所产生的离心惯性力为R1=m1ω2r1=473.26Nm2所产生的离心惯性力为R2=m2ω2r2=492.98Nm3所产生的离心惯性力为R3=m3ω2r3=394.38N各惯性力在X轴和Y轴上的分力分别为：R1X= R1cos90。

=0N；R1Y= R1sin90。

=473.26NR2X= R2cos195。

=-476.18N；R2Y= R2sin195。

=-127.59NR3X= R3cos(-45。

)=278.87N；R3Y= R3sin(-45。

)=-278.87NR X= R1X + R2X + R3X =-197.31N；R Y= R1Y + R2Y + R3Y=66.83NR= (R X 2+ R Y 2)1/2=208.32N所以离心惯性力的合力与X轴的夹角为α=arccos(-197.31/208.32)=161.29。

在A和B处所产生的动压力分别为：R A=R(b/(a+b))=78.12N；R B=R(a/(a+b))=130.2N，方向均与X轴成的夹角161.29。

②各质径积分别为：m1r1=480kgmm；m2r2=500kgmm；m3r3=400kgmm各质径积在X轴和Y轴上的投影分别为：(m1r1)X=0，(m1r1)Y=480kgmm；(m2r2)X=500×cos195。

=-482.96 kgmm，(m2r2)Y=500×sin195。

=-129.41 kgmm；(m3r3)X=400×cos(-45。

)=282.84 kgmm，(m3r3)Y=400×sin (-45。

)=-282.84 kgmm (mr) X=(m1r1)X +(m2r2)X +(m3r3)X =-200.12 kgmm，(mr) Y=(m1r1)Y +(m2r2)Y +(m3r3)Y =67.75 kgmm总质径积为mr =((mr) X2+(mr) Y2)1/2=211.28 kgmm，方向为与X轴的夹角为arccos((mr) X/mr)= 161.29。

m b=mr/r b=1.0564kg，方向与mr的方向相反，即与X轴成-18.71。

③对于动平衡，要对其惯性力偶进行平衡，所以要两个平衡基面，而静平衡不需对力偶进行平衡，所以需一个平衡基面。

静平衡的物体不一定动平衡。