平面几何综合复习【典型例题】：例3、已知：如图在∆ABC 中，AB =AC 。

延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE 求证：CD =2CE分析：（1）要证长线段CD 是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD =2CE ，可考虑在CD 上截取一半，再证明CE 等于CD 的一半即可。

证明： 过B 点作BF //AC 交CD 于F ， AB =BD∴=DF CF ,且BF AC =12AB AC ACB //,∴∠=∠2BF AC ACB //,,∴∠=∠∴∠=∠112又 BE AB BF AC BE BF ==∴=1212.,在∆∆CEB CFB 和中BE BF BC BC =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪12 ∴≅∴==∆∆CEB CFB EC CF CD ,12即CE =2EC分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。

提示： 将CE 延长到G ，使EG =CE ， 连结AG ，BG ，可证明∆ACG ≅∆BDC ，从而得到CG =CD ，因而有CD =2CE 。

例4、已知：如图，在∆ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P 、Q求证：AP=AQ分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP =AQ ，就要证∠=∠APQ AQP M N ， ,分别是BE 、CD 中点，且BD =CE ，又BC 是∆BDC 和∆BCE 的公共边，∴取BC 的中点F ，再连MF 、NF ，就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的∠=∠APQ AQP 等量代换到∆FMN 中，从而可证得AP =AQ 。

证明： 取BC 的中点F ，连结FM ，FN ∵M ，N 分别是 BE CD ,的中点∴==FM CE FN BD 1212，并且MF //CE ，FN //BD ，∵CE =BD ，∴FM =FN∴∠FMQ =∠FNP∠FMQ=∠AQM （两直线平行，内错角相等） ∴∠FNP =∠APN ，∴∠APN =∠AQM ∴AP =AQ例5、已知：∆ ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，BD =CE ，DE 交BC 于F 求证：DE =EF分析：DF 和EF 分别在∆DBF 和∆ECF 中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作DG //AC 交BC 于G 点，易证∆DGF ≅∆ECF ，所以DF =EF ，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。

例6、已知Rt ∆ACB 中，∠ACB =90︒，CD ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ，交CD 于E ，EF //AB 交AC 于F 求证：CE =AF分析：要证线段CE =AF ，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E 点作EG ⊥BC 于G ，所以EG =DE ，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作FH ⊥AB 于H ，利用平行线间距离相等，可易证得∆HAF ≅∆GCE ，从而证得CE =AF ，另解还可以过E 点作KM //AC 交AB 于K ，交BC 于M ，证∆MCE ≅∆DKE 即可例7、已知：∆ABC 中，∠ACB =90︒，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，CE 的延长线交AB 于F ，FG /AC 交AD 于G 求证：FB =2CG分析：要证FB =2CG ，只要证CG =12BF ，由于CG 和BF 分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG 和FB 之间的联系，分析题目条件可知∆CEG ≅∆AEF ，所以AF =CG ，只要证AF =12FB 即可证明： 作DH //CF 交AB 于H ，Rt ∆ADC 中，ACD =90︒， E 是斜边AD 中点，∴CE =AE ，∴∠1=∠2 ∵AC //FG ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4 ∴EG =EF 在∆AEF 中和∆CEG 中，有 CE AEEG EF ==∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪56∴∆AEF ≅∆ CEG 中，∴AF =CGDH //CF ，E 为AD 中点，∴AF =FHDH //CF ，D 为BC 中点，∴FH =HB∴AF =FH =HB ，∴AF=12FBCG =AF ，∴CG =12FB ，即FB =2CG例8、设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？分析：这是一道几何中的计算题要求EF 的长，首先发现它在Rt 它在Rt ∆EAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结AD 后可证∆ADE ≅∆CDF 解； 连结AD ，则在∆ADE 和∆CDF 中， ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∠=∠=︒ADE ADF CDF ADF ADE CDF DAE DCF 909045，，又AD =CD ，∴≅∴==∆∆ADE CDF AE CF 5又AF +FC =AC =AB =AE +BE =5+12=17∴=-=-==+=AF AC FC EAF EF AE AF 175121322在中Rt ∆,即EF 的长为13例9、已知：如图，过正方形ABCD 的顶点A 作直线交BD 于E ，交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，若H 是FG 的中点 求证：EC ⊥CH分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH 是90︒即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90︒，从而推出∠ECH =90︒，通过∆∠ABE ≅∆CBE ，及Rt ∆FCG 的斜边中线CH 可证得证明： 简述：在正方形ABCD 中，∠=∠=︒1245 ∵AB =BC ，BE =BE ∴∆ABE ≅∆CBE ∴∠3=∠4，又H 是Rt FCG 斜边上的中点∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=︒∴⊥CH HG GG EC CH534690 例10、已知：如图在平行四边形ABCD 中，AE =CF ，BM =DN 求证：四边形EMFN 是平行四边形分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。

证法一： ABCD 是平行四边形 ∴AD //BC ，AD =BC∴∠=∠==12,, AE FC DN BM ∴ DE =BF ,DM =BN ∴≅∆∆DEM BFN∠=∠=34,MB NF ∴ME //NF∴EMFN 是平行四边形证法二： 证∴≅∆∆DEM BFN （同证法一） ∴ME =NF 同理可证 ∆∆DEN BFM ≅ ∴EN =FM ∴EMFN 是平行四边形。

例11、如图：等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 和BD 相交于E ，已知，∠ABD =60︒，BD =12，且BE ∶ED =5∶1，S 梯形ABCD=363，求这个梯形的周长？分析：由BD =12，且BE ∶ED =5∶1，可得BE =10，ED =2，易证，∆∆ABD DCA ≅故∠=∠=︒∴∠=︒ADB DAC AED AED 6060,,∆为等边三角，AD =DE =2，同理BC =10，作AF ⊥BC 于F ，DG ⊥BC 于G ，则四边形AFGD 是矩形，由梯形面积公式可求出AF DG BF GC ===63,而()=-12BC AD =()121024-=，再由勾股定理求出AB =CD =231 故梯形周长为12+431 解：BD BE ED BE DE ==∴==1251102,,,;且∶∶ 梯形ABCD 为等腰梯形，∴==AB CD AC BD ,AD =AD∴≅∴∠=∠=︒∆∆ABD DCA DAC ADB ,60∴∠=︒∴AED AED 60,∆为等边三角形 ∴==AD DE 2 同理可求： BC =10 作AF ⊥BC 于F ，DG ⊥BC 于G ， 则四边形AFGD 为矩形∴===∠=∠FG AD AB AC ABC DCB 2,, ∠=∠=︒AFB DGC 90 ∴≅∆∆ABF DCG()()∴==-=-=BF GC BC FG 12121024 S ABCD梯形=363()()∴+⨯=+⨯=1236312102363BC AD AF AF ,即 ∴AF ABF =63，中Rt ∆()AB AF BF =+=+==2222634124231同理：DC =231∴梯形周长=AD +BC +AB +CD =2+10+231+231=12+431 此题综合性较强，涉及到的知识点很多，但证明的关键是证出∆ABC 是等边三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。

【综合练习】： 一、填空题：（1）∆ABC 中，AB =AC ，DE 是AB 的中垂线，∆BCE 的周长为14厘米，BC =5厘米，那么AB 的长为 厘米。

（2）若∆ABC 的三个外角的度数之比为3∶4∶5，则最大边AB 与最小边BC 关系是 ；而三条边之间的关系是 ；（3）等腰三角形的周长为23+，腰长为1，则底角等 度。

（4）如图在Rt ∆ABC 中，∠=︒C 90 BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE =1厘米，则AC = 厘米。

（5）把长为8cm 的长方形纸片对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则找开后的梯形中位线长为 cm 。

（6）若等腰三角形的底角为15︒，腰长为2，则腰上的高为 。

（7）若等腰梯形的周长80cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线等于 cm 。

（8）已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，如果∆AOB 的面积是3，那么平行四边形ABCD 的面积是 。

（9）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是 。

（10）菱形中有一个内角是60︒，菱形的边长为6，则菱形两条对角线的长为 。

三、选择题：（1）如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．92（2）在∆ABC 中，已知b =4，c =5, A =30︒,则∆ABC 的面积是（ ）A ．10B ．103C ．5D ．53（3）如果一个多边形的内角和等于720︒，那么这个多边形是（ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形（4）下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A ．平行四边形 B ．正方形 C ．等边三角形 D ．直角梯形（5）已知：平行四边形ABCD 的周长为24，AB ∶AD =1∶2，那么AB 的长是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．16（6）设F 为正方形ABCD 的边AC 上一点，CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，若正方形ABCD 的面积为64，∆ CEF 面积为50，则∆CBE 的面积为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26（7）在 ∆ABC 中，若∠=︒A 60，AB =23, AC =3，则S ∆ABCD =（ ）A ．9B ．92C ． 33D ．332（8）如图在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC =20︒，∠ACB =66︒，∠则FEG =（ ） A ．47︒ B ．46︒ C ． 41︒ D ．23︒（9）已知一个等腰梯形的高是2m ，它的中位线长是5m,一个底角为45︒，这个梯形的周长是（ ） A ．14B ．()522+cmC ．()1022+mD ．()1042+m（10）已知正方形的面积为8cm 2,则正方形的对角线长为（ ） A ．22cm B ．42cmC ．4cmD ．2cm【答案】：一、 （1）9 （2）AB =2BC ，132∶∶ （3）30︒ （4）3 （5）5（6）1（7）20 （8）12 （9）5 （10）6，63二、 （1）D （2）C （3）C （4）C （5）A （6）B （7）B （8）D （9）D （10）C【综合练习二】： 证明与计算： 1、已知：等腰三角形ABC 的顶角A 为120︒，底边长为20cm ，求：腰长2、已知；如图，∆ABC 中，AB =AC ，D ，E ，F 分别为AB 、BC 、CA 上的点，且BD =CE ， ∠=∠DEF B ,求证：∆DEF 是等腰三角形3、已知：如图，四边形ABCD 为矩形四边形ABDE 为等腰梯形，AE //BD ， 求证：∆∆BED BCD ≅4、如图：平行四边形ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，CE =2，DF =1，∠=︒EBF 60，求平行四边形ABCD 的面积。