2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：圆周角定理的运用（一）一．选择题1．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°2．如图，在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．50°3．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（）A．πB．πC．πD．π5．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB ＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．160°7．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14°B．28°C．42°D．56°8．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（）A．2B．C．2D．10．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（）A．B．C．4 D．5二．填空题11．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．12．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝24°，则∠D＝．13．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O 上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处．……按此规律运动到点A2020处，则点A2020与点A0间的距离是．14．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝．15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD ＝°．三．解答题16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．17．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，延长BD到点C，使得CD＝BD．点E为AC 上的动点，射线ED与射线AB交于点F．（1）求证：∠C＝∠ABD；（2）若ED是⊙O的切线，且CE＝2，OD＝5，求BF的长．18．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BC＝2DE；（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．19．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．20．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．参考答案一．选择题1．解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．2．解：∵OC＝OB，∠COB＝100°，∴∠B＝∠BCO＝（180°﹣100°）＝40°，∴∠AEC＝∠B＝40°，故选：C．3．解：∵弧AD＝弧CD，∴∠ABD＝∠DAC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°，∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°．故选：B．4．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴Rt△ABC∽Rt△CBD，∴，∵CD＝4，BD＝3，∴BC＝＝＝5∴，∴AB＝，∴⊙O的周长是π，故选：A．5．解：∵∠FEG＝50°，若P点圆心，∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．6．解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B．7．解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴＝，∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°，故选：D．8．解：如图，连接AC、BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝．故选：A．9．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵点D在⊙O上，且平分，∴DC＝BD．Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．10．解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴＝，AD＝BD，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB＝8，∴DB＝OD＝4，则半径OB等于：＝4．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．12．解：∵圆O的直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∵∠A＝∠C＝24°，∴∠D＝90°﹣24°＝66°．故答案为66°．13．解：如图，∵⊙O的半径＝2，由题意得，A0A1＝4，A0A2＝2，A0A3＝2，A0A4＝2，A0A5＝2，A0A6＝0，A0A7＝4，…∵2020÷6＝336…4，∴按此规律运动到点A2020处，A2020与A4重合，∴A0A2020＝A0A4＝2．14．解：由圆周角的定律可知：∠D＝∠ABC，∵AB是直径，∵E点是CD的中点，∴∠CEB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝64°，故答案为：64°15．解：连接OC，OD，如图所示：∵∠CAB＝50°，∴∠COB＝2∠AB＝100°．∵＝，∴∠AOD＝∠COD＝（180°﹣∠COB）＝40°，∴∠CAD＝∠COD＝20°．故答案为：20．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∵∠CAD＝∠CBE＝23°，∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°．（2）∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠CED＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形，∵AC＝AB＝13，∴AE＝AB＝，∴EC＝AC﹣AE＝13﹣，∴CD＝EC＝13﹣13．17．解：（1）证明：∵CD＝BD，OA＝OB，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠C＝∠ABD；（2）由（1）可知：OD∥AC，OD＝AC，∴＝，∵OD＝OA＝OB＝5，∴AC＝10，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣2＝8，OF＝OB+BF＝5+BF，AF＝AB+BF＝10+BF，∴＝，解得BF＝答：BF的长为18．（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．∵AB⊥DG，AB是直径，∴＝，DE＝EG，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∴＝，∴＝，∴BC＝DG＝2DE．（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，∴∠FBO＝90°﹣2x，∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°+x，∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB∴BF＝BO＝OA，∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴＝＝，∴AC＝2FR＝2FC，∴tan∠FAR＝tan∠FAC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，则t2+4t2＝4，∵t＞0，∴t＝，∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，则有5m2＝，∵m＞0，∴m＝，∴AC＝2m＝．19．（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．20．证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．。