圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
OEDA BC OABCCBAO5、如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB＋∠AOB＝60°。
（1）求∠AOB的度数；（2）若AE＝1，求BC的长。
【课堂练习】1、如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是。
（第1题）（第2题）2、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝2∠4；③∠3＋∠5＝180°。
其中正确的是（）A．①③ B．①②C．①②③D．②③3、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC。
（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数。
4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF。
（1）求证：∠1＝∠F；（2）若CD＝3，EF＝52，求⊙O的半径长。
知识点二圆内接三角形、四边形【知识梳理】1、圆内接三角形定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
性质：（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
注意：锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。
2、圆内接四边形定义：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即外角等于内对角。
注意：圆的内接四边形的性质可以由同一条对角线（同一条弦）所对的两种圆周角互补得到。
【例题精讲二】例2.1、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，C 是劣弧BD 的中点，延长DA 到E 点。
已知∠COD ＝70°，则∠BAE 的度数是（ ） A ．100°B ．110°C ．120°D ．140°（第1题） （第2题）2、如图，等腰△ABC 内接于⊙O ，45AB AC ==，BC ＝8，则⊙O 的半径为 。
3、如图，OA ＝OB ，点 A 的坐标是（﹣2，0），OB 与 x 轴正方向夹角为 60°，则过 A 、O 、B 三点的圆的圆心坐标是 。
（第3题） （第4题）4、如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，求∠OAD ＋∠OCD 的度数。
5、如图，已知 A、B、C、D 是⊙O上的四点，延长 DC、AB 相交于点 E。
若BC＝BE。
求证：△ADE 是等腰三角形。
【课堂练习】1、如图，△ABC内接于圆⊙O，∠B＝∠OAC，OA＝8 cm，则AC＝cm。
（第1题）（第2题）2、如图，四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形，连接 AC、BO，已知∠CAB＝36°，∠ABO＝30°，则∠D＝。
3、如图，△ABC 的外心坐标是。
（第3题）（第4题）（第5题）4、如图，⊙O 的半径为 4，点 A、B、C 在⊙O 上，且∠ACB＝45°，则弦 AB 的长是。
5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO 的度数为。
6、如图，∠DAE 是⊙O 的内接四边形 ABCD 的一个外角，且∠DAE＝∠DAC。
求证：DB＝DC。
知识点三弧、弦、圆心角转化【知识梳理】1、弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
注意：因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【例题精讲三】例3.1、如图，已知四边形ABCD是矩形，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，过点E作EF⊥DC于点F。
若DF＝EF＝10，AB＝3AE，则矩形ABCD中AD的长度为。
（例3—1）（例3—2）2、如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 在⊙O 上，AD＝CD。
若∠DAB＝58°，则∠CAB＝。
3、如图，在⊙O中，AB 是直径，C、D 是圆上两点，使得 AD＝BC。
求证：AC＝BD。
4、如图，⊙O中，弦 AD＝BC。
（1）求证：AC＝BD；（2）若∠D＝60°，⊙ O 的半径为 2，求AB的长。
【课堂练习】1、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值是。
（第1题）（第2题）2、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC中点D，则AB长为（）A．215B．415C．8D．103、如图，⊙O 是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接 BD、CD。
（1）求证：BD 平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：四边形 OBCD 是菱形。
4、已知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC上一点（与点 B、C 不重合）。
（1）如果点 P 是弧 BC 的中点，求证：PB＋PC＝PA；（2）如果点 P 在BC上移动，（1）的结论还成立吗？请说明理由。
1、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2、下列说法：其中正确的个数有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3、如图，AB、CD 都是⊙O的弦，且 AB⊥CD。
若∠CDB＝62°，则∠ACD 的大小为（）A．28° B．31° C．38°D．62°（第3题）（第4题）（第5题）4、如图，在坐标平面内，Rt△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°，AB 垂直于x 轴，M 为 Rt△ABC 的外心。
若A 点坐标为（3，4），M 点坐标为（﹣1，1），则B 点坐标为（）A．（3，﹣1）B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）5、如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠B＝50°，则下列判断不正确的是（）A．∠ACB＝90° B．AC＝2CD C．∠DAB＝65° D．∠DAB＋∠DCB＝180°6、如图，已知经过原点的⊙P与 x、y 轴分别交于 A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝。
（第6题）（第7题）7、如图，半径为5的⊙A中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD ＝180°，则弦 BC 的长为。
8、如图，在⊙O 中，∠AOC＝140°，∠ACB＝50°，则∠BAC＝。
（第8题）（第9题）9、如图，AB 是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O于点 D，点 E 在⊙O上。
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB 的度数；（2）若 OC＝3，∠A＝30°，求 AB 的长。
10、如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠BAD 和∠BCD的度数。
11、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD。
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。
12、高致病性禽流感是比SARS病毒传播速度更快的传染病.若疫点O处发生疫情，为防止蔓延，规定离疫点3 km 范围内为捕杀区，应杀死所有禽类，离疫点3km至5km范围内为免疫区，所有禽类强制免疫，同时对捕杀区与免疫区的村庄、道路封闭管理。
现有一笔直公路AB通过禽流感疫区，如图所示，捕杀区内公路CD长4 km，则公路在免疫区的路程有多长？。