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4． 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
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解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同 正数解，则三角形有两解． 三角形形状的判定方法 3． 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦 定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注 意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
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【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C， 即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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专题三
解斜三角形在实际问题中的应用
解斜三角形应用题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用 题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角 等． (2)根据题意画出图形． (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通 过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模 型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后 作答．
1 π ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝ ，∴C＝ . 2 3
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1 π (2)由 S＝ absin C＝10 3，C＝ ， 2 3 得 ab＝40.① 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 c ＝(a＋b) ∴7 ＝(a＋b)
2 2 2
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Hale Waihona Puke 要点归纳1． 解三角形常见类型及解法 在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常 见类型及其解法见下表：
已知条件 一边和二角 (如 a，B，C)
应用定理 正弦 定理
两边和夹角 (如 a，b，C)
余弦 定理
一般解法 由 A＋B＋C＝180° ，求角 A； 由正弦定理求出 b 与 c；S△＝ 1 acsin B，在有解时只有一解 2 由余弦定理求第三边 c； 由正弦 定理求出一边所对的角，再由 A＋B＋C＝180° 求出另一角． 1 S△＝ absin C， 在有解时只有一 2 解
bsin A b ＝ ，得 sin B＝ .若 sin B>1，无解； sin B a
若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解． (2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋ b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无
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专题二
正、余弦定理解三角形中的综合问题
在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命 题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了 运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角 和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公 式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、 余弦定理以及相关知识解题．
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已知条件
应用定理
一般解法 由余弦定理求出角 A、B，再利用 A＋ 1 B＋C＝180° 求出角 C.S△＝ absin C， 2 在有解时只有一解 由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝
三边(a，b，c)
余弦 定理
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
正弦 定理
180° 求出角 C；再利用正弦定理求出 c 1 边．S△＝ absin C 可有两解，一解或 2 无解
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2. 三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类 三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结 合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般 用正弦定理，但也可用余弦定理． a (1)利用正弦定理讨论： 若已知 a、 b、 A， 由正弦定理 sin A
c 1 设 a，b，c 满足条件 b ＋c －bc＝a 和 ＝ ＋ 3，求 b 2
2 2 2
A 和 tan B 的值． b2＋c2－a2 1 解 由余弦定理 cos A＝ ＝ ， 2bc 2
因此 A＝60° .在△ABC 中，C＝180° －A－B＝120° －B . －B 1 c sin C sin120° 由已知条件，应用正弦定理 ＋ 3＝ ＝ ＝ 2 b sin B sin B sin 120° cos B－cos 120° sin B 3 1 ＝ ＝ ＋ ， sin B 2tan B 2 1 从而 tan B＝ . 2
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专题一
正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、 正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题 目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的 选择和方程思想的应用．
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【例1】 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B π ⇔A＝B 或 A＋B＝ 等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为 2 b2＋c2－a2 a 边， 如： sin A＝ (R 为△ABC 外接圆半径)， cos A＝ 2R 2bc 等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．