第十二讲解三角形1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ；3 、三角形中的基本关系： sin( A B)sin C , cos( A B) cosC , tan(A B)tanC ,sinA Bcos C ,cosABsin C , tanA BcotC22 22 224 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为C 的外接圆的半径，则有abc 2R ．sinsin Csin5 、正弦定理的变形公式：①化角为边： a 2Rsin， b 2Rsin ， c 2R sin C ；②化边为角： sin a ， sin bc；， sin C2R2R2R③ a : b: c sin:sin :sin C ；④a b ca b c． sinsin sin C sin sinsin C7 、余弦定理：在C 中，有 a 22 c 22bc cos 等，变形： cosb 2c 2 a 2b等，2bc8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角）9 、三角形面积公式：1 11S Cbc sinab sin Cac sin ．22 210 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ．11 、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比 )．1. △ ABC 中，B 45o，C 60o c 1，则最短边的边长等于（），6 6 1 3A 3B 2C 2D 2a b c2. △ ABC 中，cos Acos BcosC，则△ ABC 一定是（）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形60o， a a b c3. △ABC 中，若A 3，则 sin A sin B sin C 等于（）133A 2B 2CD 24. △ABC 中，A:B 1:2， C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2两部分，则 cosA （）1B 1C3D 0A2 435. 在钝角△ ABC 中，已知a1 ， b2，则最大边c的取值范围是。

一、利用正弦、余弦定理解三角形【例 1－ 1 】 (2012辽宁高考)在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c .角 A， B， C 成等差数列．(1)求 cos B的值；(2)边 a， b ， c 成等比数列，求sin A sin C 的值．sin A＋sin B 【例 1－ 2 】△ABC中，A，B，C所对的边为a，b， c，tan C＝cos A＋cos B，sin( B －A)＝cos C.(1)求 A，C；(2) 若S△ABC＝ 3 ＋ 3 ，求a，c.二、三角形形状的判定【例2－ 1】△ABC 满足sin B ＝cos A sin C，则△ ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例 2－ 2 】在△ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 2 a sin A ＝ (2 b ＋ c )sin B＋(2 c ＋ b )sin C .(1) 求 A 的大小；(2) 若 sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．三、与三角形面积有关的问题【例 3】在△ ABCBCabc ＝ 2， C π 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ， ，已知 ＝ .A c3 (1) 若△ ABC 的面积等于3 ，求 a ， b ；(2) 若 sin C ＋ sin( B －A )＝2sin 2 A ，求△ ABC 的面积．1 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c .若 a cos A ＝b sin B ，则 sin A cos A ＋ cos2 B＝()． 1 B ．1 D ．1A ．－C ．－ 1222 ．在△ ABC 中， (a ＋ b ＋ c )(a ＋b － c )＝3 ab ，且 a cos B ＝b cos A ，则△ ABC 的形状为 ____ ． 3 ． (2014 福建高考 )在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ 60 °，∠ ABC ＝ 45 °， BC ＝ 3 ，则 AC ＝___．4 ． (2016 陕西高考 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 πa ，b ，c .若 a ＝ 2 ， B ＝ ，c6＝2 3 ，则 b ＝ ______.5 ． (201 5 山东高考 )在△ABC中，内角A， B， C 所对的边分别为a， b ， c.已知sin B (tan A ＋t an C)＝ tan A tan C.(1)求证： a， b， c 成等比数列；(2)若 a＝1， c＝2，求△ ABC 的面积 S.6 ．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30 °且与该港口相距20 海里的 A 处，并正以30 海里/ 时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内 (含 30 分钟 )能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．1.( 2014 )y f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f ( x) 6 x 2，数列{ a n}湖北理已知二次函数'的前n 项和为S n，点 (n, S n )( n N ) 均在函数y f (x)的图像上。

Ⅰ求数列{ a n }的通项公式；( )(Ⅱ )设b n3, T n数列{b n} 的前 n 项和，求使得T nmN 都成立的最小正整数m ；对所有 nanan 1 202 ．（ 2015湖北文）设数列{ a n}的前n项和为S n=2n2，{ b n}为等比数列，且a1b1 ,b2 (a2a1 )b1.（Ⅰ）求数列{ a n } 和 { b n } 的通项公式；（Ⅱ）设c n an，求数列{ c n}的前n项和Tn.b n3. 已知Sn是数列 {an }的前 n 项和，并且a1 =1 ，对任意正整数n， S n 1 4a n2 ；设bnan 1 2a n (n 1,2,3, ） .（ I）证明数列{ bn}是等比数列，并求{ bn}的通项公式；C n b n ,T n为数列 { 1 }（II ）设 3 log 2 C n 1 log 2 C n 2 的前 n 项和，求Tn .4. （ 2015山东文）已知数列a n的首项a15, 前 n 项和为 S n，且 S n 12S n n 5(n N * ) （I ）证明数列a n 1 是等比数列；（II ）令f ( x)a1x a2 x2L a n x n，求函数f (x) 在点x 1 处的导数 f (1)第二章解三角形测试卷（时间： 120 分钟总分：150分）选择题答案 (5 ′×10=50 ′)题号答案1. △ ABC 中，B 45o C 60o，c 1，则最短边的边长等于（），6 6 1 3A 3B 2C 2D 2a b c2. △ ABC 中，cos Acos BcosC，则△ ABC 一定是（）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3. △ABC 中，∠ A=60 ° , a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定4. △ ABC 中，b 8，c8 3 ，SVABC 163，则 A 等于（）A 30oB 60oC 30o 或 150oD 60 o或 120oa b c5. △ABC 中，若A60o， a 3 ，则 sin A sin B sin C 等于（）133A 2B 2CD 26. △ABC 中，A:B 1:2， C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2两部分，则 cosA （）A 1 1C3D 0 3B427. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定8. 在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 °、 60 °，则塔高为（）A. 400米400 3C. 200 3 米D. 200 米3B.3米9. 海上有 A、 B 两个小岛相距10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 °的视角，从B岛望 C岛和A 岛成 75 °的视角，则 B 、C 间的距离是( )A.10 海里B.5 海里C.5 6 海里D.5 3 海里10. 如图： D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β , α(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于 （）A ． a sin sinB ． a sinsinAsin()cos()a sin cos a cos sinDCBC ．D ．)sin()cos(二、填空题： (5 ′×5=25 ′)11. 在钝角△ ABC 中，已知 a1， b2，则最大边c的取值范围是。

12. 在△ ABC 中，已知b50 3 ， c 150， B30o ，则边长 a。

13. 三角形的一边长为 14 ，这条边所对的角为60o ，另两边之比为 8 ： 5 ，则这个三角形的面积为。

7三角形。

14.A 为 ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA= , 则 ABC 是 ____________1215. 在 ABC 中， a =5,b = 4,cos(A31, 则 cosC=_____________.－ B)=32填空题答案： 11 ： ____________12 ： ____________ 13 ：____________14 ： ____________15 ： ____________三、解答题（共 75 ′）cos A b 416. （本题 12 分）在△ ABC 中，已知边c=10, 又知 cos Ba3，求边 a 、 b 的长。