江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试高等数学 试题卷（二年级）注意事项：1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。
作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。
3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。
在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1、当0→x 时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小2、曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3、已知函数sin 20()0xx xf x x ⎧<⎪⎪=⎨> ，则点0x =是函数)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、连续点4、设1()y f x=，其中f 具有二阶导数，则22d y dx =A. 231121()()f f x x x x '''-+ B. 431121()()f f x x x x '''+ C. 231121()()f f x x x x'''-- D.431121()()f f x x x x'''- 5、下列级数中收敛的是A 、211n n n∞=+∑B 、1()1nn n n ∞=+∑ C 、1!2n n n ∞=∑D、13n n ∞=∑6、已知函数)(x f 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. 1y x =-B. 22y x =-C. 33y x =-D. 44y x =- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、设函数1sin 0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点0=x 处连续，则常数a = ▲ ． 8、已知空间三点(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)A B C ，则ABC ∆的面积为 ▲ ．9、设函数)(x y y =由参数方程2311x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩所确定，则221x d y dx == ▲ ．10、设向量→→b a ,互相垂直，且，，23==→→b a ，则=+→→b a 2 ▲ ．11、设10lim()x x a x e a x→+=-，则常数=a ▲ ． 12、幂级数1n nn ∞=∑的收敛域为 ▲ ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限01lim ln(1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．14、设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求dz 及22zx∂∂．15、求不定积分2cos 2x xdx ⎰．16、计算定积分20⎰ ．17、设函数223(,)x yz f x e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．18、已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．19、已知函数()y f x =是一阶微分方程dyy dx=满(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．20、计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线0)y x =>与三条直线,3,0y x x y ===所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、设平面图形D 由曲线x =y =1y =围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 22、已知21132()(95)x F x t t dt =-⎰是函数()f x 的一个原函数，求曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-． 24、设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：函数2()[()()]a b baaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰．江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试高等数学（二年级） 试卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、0 89、34 10、2 11、ln y x x cx =+ 12、11[,)22- 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=20001ln(1)ln(1)1limlim lim ln(1)2x x x xx x x e xe xe x xe x x x x xx→→→+--+-++==+213(1)lim22x x x x e e xe x →++++==14、令32(,,)331,3,3,33x y z F x y z z xy z F y F x F z '''=+--===-22222233,,33133111y x z z F F z y y z x x y xdz dx dy x F z z y F z z z z''∂∂=-=-==-=-=∴=+''∂--∂----22222222223()(2)()2211(1)(1)(1)z z y yy z yz z y z x x z z x x x z z z ∂∂∂--∂∂∂∂--=====∂∂∂--- 15、22221111cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22222x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰22111111sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222224x x x x xdx x x x x x C =+-=+-+⎰ 16、令2sin ,2cos ,0,0;2,2x t dx tdt x t x t π======，则原式=222220000222cos 12cos cos 12(1)22cos 1cos 2cos 2cos 22ttt dt dt dt dt t ttt ππππ-===-++⎰⎰⎰⎰ 22202011tan 12222cos 2t t dt d t πππππ=-=-=-⎰⎰ 17、2232323232212223,(22)36x yx y x y x y z z f e f x f e e e f y y x++++∂∂''''''=⋅⋅=⋅+⋅⋅+∂∂∂18、直线方向向量12(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),(3,1,2),S S →→=-⨯--=-=-平面∏的法向量12(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),n S S →→→=⨯=-⨯-=-在第一条直线上任取一点(1,1,1)，该点也在平面上，所以平面方程为6(1)(2)(1)10(1)0x y z -+--+-=即3570x y z -+-=19、由dyy dx=得111111,,ln ,,x C C C x x x dy dx dy dx y x C y e e e y e e Ce y y +===+===±=⎰⎰，由(0)1y =得1C =,所以xy e =，即212,320,1,322x e r y y r r r y -'''-+==+==， 齐次方程的通解为212x xY C e C e =+.令特解为,,x x x y xAe y Ae xAe **'==+，,x x x y Ae Ae xAe *''=++代入原方程得：,1x x Ae e A -==-，所以通解为212x x xy Y C e C e xe ==+-20、原式=333cos 4cos 442002127cos cos (8cos )33cos r d r rdr d d πππθθθθθθθθθ==-⎰⎰⎰⎰ 24011(27tan 8sin )(27tan 8sin )933443πππθθ=-=-=-. 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、（1）13123200215)(2)333S y dy y y ==⋅+=⎰（2）0222502221010821[1][1()]()()42802510x x x x V dx dx x x πππππππ--=-+-=++-=+=⎰⎰22、25233()2(95)1810,f x x x x x x =-=-23()3020f x x x '=-，13()20200,f x x-''=-=解得1x =，另外0x =为二导不存在的点，通过列表分析得：在(,0),(1,)-∞+∞凸，在(0,1)凹， 拐点为(0,0),(1,8)。
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、令2()21(1ln ),(1)0.f x x x f =--+=1()22(1ln ),(1)0.f x x f x ''=-+=221(1ln )2ln ()20,x x f x x x-+''=-=>在1x >时。
()()(1)0,()()(1)0f x f x f f x f x f '''∴>=∴>=单调递增，单调递增，，证毕。
24、22[()]()()a b a b abf a b x dx a b x u f u d a b u +++-+-=+-⎰⎰令222()()()a b bba b a b bf u du f u du f x dx +++=-==⎰⎰⎰222[()()]()()a b a b a b aaaf x f a b x dx f x dx f a b x dx +++∴++-=++-⎰⎰⎰22()()()a b bb a b aaf x dx f x dx f x dx ++=+=⎰⎰⎰。