课时作业36 一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0},集合B 为函数y ＝1x －1的定义域,则A ∩B 等于( D )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析:A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2},由x －1>0得x >1,即B ＝{x |x >1},所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12 C ．(－∞,－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞,－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析:1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x 2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0 ⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析:不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12,由题意,选项中x 的范围应该是上述解集的真子集,只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞,1)∪(3,＋∞)解析:关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1,＋∞),∴a ＝b <0, ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0,解得－1<x <3, ∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立,若当x ∈[－1,1]时,f (x )>0恒成立,则b 的取值范围是( C )A ．(－1,0)B ．(2,＋∞)C ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)D ．不能确定解析:由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称,即a2＝1,解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下,所以当x ∈[－1,1]时,f (x )为增函数,所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2,f (x )>0恒成立,即b 2－b －2>0恒成立,解得b <－1或b >2.6．(安徽阜阳质检)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围是( B )A ．(－∞,－1)B ．(－∞,22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析:由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立,得k ＋1<3x＋23x .∵3x ＋23x ≥22,当且仅当3x ＝23x ,即x ＝12log 32时,等号成立,∴k ＋1<22,即k <22－1,故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}．解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．8．若0<a <1,则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析:原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0,由0<a <1得a <1a ,∴a <x <1a . 9．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12,则不等式－cx 2＋2x－a >0的解集为(－2,3)．解析:依题意知,⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12,c ＝2,∴不等式－cx 2＋2x －a >0, 即为－2x 2＋2x ＋12>0,即x 2－x －6<0, 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数,则不等式f (x )<4的解集为(－∞,4)．解析:若x >0,则－x <0,则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ,可得a ＝－3,b ＝－1,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时,由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时,由－x 2－3x <4解得x <0,所以不等式f (x )<4的解集为(－∞,4)．三、解答题11．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ,不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1],不等式f (x )＋t ≤2恒成立,求t 的取值范围．解:(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ,不等式f (x )<0的解集是(0,5),∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根,由根与系数的关系知,－b 2＝5,c2＝0,∴b ＝－10,c ＝0,f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立, ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2,则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数, ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t , ∴10＋t ≤0,即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞,－10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22,解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解:(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ,∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立, 当a ＝0时,1≥0恒成立．当a ≠0时,需满足题意,则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0<a ≤1,综上可知,a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a , 由题意及(1)可知0<a ≤1, ∴当x ＝－1时,f (x )min ＝1－a , 由题意得,1－a ＝22,∴a ＝12,∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32,∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.13．若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0,则实数k 的取值范围是[1,4]．解析:容易判断k ＝0或k <0时,均不符合题意,所以k >0.所以原不等式即为kx－k 2＋4k (x －4)<0,等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0,依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0,所以1≤k ≤4.14．(江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ,a ∈R . (1)若a ＝2,试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立,试求a 的取值范围． 解:(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4. 因为x >0,所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时,即x ＝1时,等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时,y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1,所以要使得“∀x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”, 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( D )A ．(4,5)B ．(－3,－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3,－2)∪(4,5]解析:∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0,∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0. ①当a >1时,得1<x <a ,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a ≤5； ②当a <1时,得a <x <1, 则－3≤a <－2；③当a ＝1时,(x －1)(x －1)<0,无解．综上可得,a 的取值范围是[－3,－2)∪(4,5]．故选D.16．(山东潍坊质检)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞,λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是(－∞,－1]．解析:原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12,故x 2＋12x ≥12在区间(－∞,λ]上恒成立,即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞,λ]上恒成立,画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如图所示,由图可知λ≤－1.。