数学手册，高等教育出版社， Sheng Sun
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的福斯特（Forster）综合法
• 福斯特I型网络：从电抗函数出发，用部分分式法所得到的网络结构形式。 设原点和无穷远处皆为极点，则有
Z=
1 sC0 1 k0
Z = sL∞ L∞ = k∞
= Z
2 ki s = s 2 + ωi2
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的福斯特（Forster）综合法
• 福斯特II型网络：从电纳函数出发，用部分分式法所得到的网络结构形式。 把电纳函数表示为部分分式形式
1 Y= sL0 L0 = 1 ' k0
Y = sC∞
' C∞ = k∞
2ki' s = Y = s 2 + ωi2
罗胜钦，网络综合原理，同济大学出版社，2005年9月第1版。 Sheng Sun
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第四章 微波网络综合设计原理
常用逼近函数及逼近方法 • 低通和高通滤波网路损耗特性图
低通
Anatol I. Zverev, Handbook of filter synthesis, John Wiley & Sons, Inc., 1967.
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第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 描述网络端口上响应信号与激励信号之比的函数成为网络函数 • 响应信号与激励信号是时间的函数，应用拉普拉斯变换后的象 函数是复频率 s = ������������ + j������������ 的函数；对于无耗互易网络的稳定 • 对于单端口网络，网络函数也称为激励点函数 正弦信号 s = j������������；
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的考尔（Cauer）综合法
• 考尔I型网络：不断交替地从电抗函数和电纳函数中移去无穷远处极点 (s→∞)的方法
剩余函数Z1(s)是另一个电抗函数，其分母多项式比分子多项式幂高一次，在无 穷远处出现零点。对于其倒数Y1(s)而言 ，则为极点。类似，把Y1(s)的分子多项 式除以分母多项式，可得
第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 对于LC网络函数，LC均为实数，网络函数皆为 s 的两个实数 多项式之比
• 写成一般形式
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第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 对分子分母多项式进行因式分解得
• zn为网络函数的零点；pn为网络函数的极点 • s→∞为零点或极点，由n−m值决定 • 零极点仅与网络的结构与元件有关，而与网络的初始状态和 激励状态无关，因而也称零极点为网络的自然频率
高通
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第四章 微波网络综合设计原理
常用逼近函数及逼近方法 • 对于低通滤波器，其插入损耗或功率损耗比可由如下多项式给 出： 其中
最大平坦逼近
等波纹逼近
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络综合 • 由于单端口LC网络（微小损耗忽略不计）的输入阻抗或输入导 纳是纯电抗或纯电纳，故把这类网络的激励点函数统称为电抗 函数。 输入阻抗为纯虚数 Z ( jω ) = jX (ω ) ， X (ω ) 为电抗 输入导纳也为纯虚数 Y ( jω ) = jB (ω ) ， B (ω ) 为电纳 • 电抗函数必须是一个奇有理函数 • 最高与最低项幂次都只能相差1，多项式各项幂逐项下降二次 • 电抗函数只能有位于轴上的单阶、共轭零点和极点，且零极点 交替出现；在原点和无穷远处，必须是电抗函数的单阶零极点。
1 S 21
2
P1为入射功率，PL为负载吸收功率。对上式取对数：
= A 10 = lg L 10 lg 1 S 21
2
(dB)
二端口无耗互易网络，由S散射矩阵的酉正性可得
S 21 = 1 − S11
2 2
且
0 ≤ S 21 ≤ 1 0 ≤ S11 ≤ 1
它们都是频率的函数
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输入阻抗函数 激励点阻抗函数
输入导纳函数 反射系数函数 激励点导纳函数
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第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 对于二端口网络，描述一个端口变量与另一个端口变量之间关 系的网络函数，称为转移函数
电压转移函数
电流转函数
转移阻抗
转移导纳
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第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 如果存在一个复数零极点，则必定有一个与它共 轭的复数零极点来保证多项式分母的系数为实数； • 网络函数是复频率s的有理分式函数；且复极点 位于s平面的左半平面上 (σi < 0)；单阶极点位 于j������������轴上 (σi = 0) 。
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的考尔（Cauer）综合法 • 利用连分式进行综合
设定电抗函数Z(s)在无穷远处有一极点，分子多项式幂比分母多项式幂高一次， 移去在无穷远处的极点，用分子多项式除以分母多项式，得
= Z ( s ) L1 ( s ) + Z1 ( s )
L1(s)是Z(s)的分子被分母除后的商， Z1(s)是移去Z(s)在无穷远处的极点后的剩 余函数；从Z(s)中移出无穷远处极点就相当于从网络中移出一个串联感抗，电 感值为L1。
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的考尔（Cauer）综合法 • 考尔II型网络：不断交替地从电抗函数和电纳函数中移去原点 处极点（ s→0）的方法
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第四章 微波网络综合设计原理
例4.1：给定如下阻抗函数，综合考尔I型网络
2
* S11 (− jω ) = S11 (− jω ) S11 (− jω ) = S11 (− jω ) S11 ( jω )
2
S11 ( jω= ) S11 (− jω )
2
|S11(jω)|2 是jω的偶有理函数，也就是ω2的有理函数，可以表 示为两个实系数之比 P( jω ) S11 ( jω ) = ± Q( jω )
按此法，继续不断地移除无穷远处的极点，直到 剩余函数的倒数没有无穷远极点为止
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的考尔（Cauer）综合法
• 考尔I型网络：不断交替地从电抗函数和电纳函数中移去无穷远处极点 (s→∞)的方法
如果电抗函数的无穷远处为零点，取倒数后不断地移除无 穷远处的极点，直到剩余函数的倒数没有无穷远极点为止
= A(ω ) 10 lg[1 + ε 2 Fn2 (ω )]
(dB)
如果Fn (ω)为一个n次幂有理整式函数，即一个实系数多项式，则衰 减极点全部在无穷远处，这种网络称为全极点滤波网络。
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第四章 微波网络综合设计原理
梯形网络综合法 当确定网络的衰减特性函数后，为了综合梯形网络，一般需要先 求出输入阻抗（或者导纳）函数，然后把输入阻抗（或者）导纳 函数展开为连分式，从而综合出梯形结构的网络。 下面仅讨论全极点低通滤波网络 设特征函数的模平方|K(jω)|2为ω2的有理分式函数
1 1 = 1 ωi2 s Li s + + Ci s 2 ki 2 ki s 1 2ki'
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2ki' , = Ci = Li 2
ωi
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络的福斯特（Forster）综合法 福斯特II型网络
把上述电容、串联回路和电感并联起来，得到
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= A(ω ) 10 lg[1 + K ( jω ) ]
2
网络衰减函数通过特征函数的模平方可以表示为
利用某些特性已知的有理函数作为逼近函数，取特性函数模平方为
K ( jω ) = ε 2 Fn2 (ω )
2
其中ε2是控制边界频率处衰减大小的常数因子，Fn (ω)是一个n次幂 的有理函数，因此衰减函数可以进一步写成
利用辗转相除将Z(s)展开成连分式
即此阻抗函数的连分式是
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第四章 微波网络综合设计原理
两端口网络的达林顿（S. Darlington）综合法
1 2 a1 P 1 2 = L = = 网络的功率衰减系数为： PL a =0 1 b 2 2 1 2 a2 = 0
衰减函数和特征函数
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Z ( jω ) =
1 Y ( jω )
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第四章 微波网络综合设计原理
电抗函数的四种形式
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络综合 • X(ω)的性质
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第四章 微波网络综合设计原理
单端口网络综合
• 对于一对共轭极点，所对应的冲击响应 幅度增长 等幅 幅度衰减
稳定
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第四章 微波网络综合设计原理
网络函数及复频概念 • 霍尔维茨多项式 (Hurwitz polynomial): 所有根不在s右半开平面 内，且在虚轴上无重根的实系数多项式。其中 ，仅有s左半开 平面内的实系数多项式成为严格霍尔维茨多项式，而在虚轴上 有单根的霍氏多项式称为广义霍尔维茨多项式。 • 稳定网络的网络函数的分母多项式一定是霍尔维茨多项式。 • 判定一个多项式是否为霍氏多项式，可以求解多项式的根，然 后根据定义判定。