在长方形上打了一个穿透的圆柱孔
•在圆柱上取A、B两点，
•v=10, e=15, f=7，S=1, h=1, r=2 10-15+7=2 2(1-1)+2=2 •如取A、B、C、D四个点 •V=12, e=18(12+6), f=8,s=1, h=1 •r=2 2(1-1)+2=2
形体所有面上的内环总数（r：ring） 穿透形体的孔洞数（h:hole） 实体的个数(s:solid)
有悬边
一条边有两个 以上的邻面
点P的邻域非 单连通
数据模型——边界表示（6/12）
几何元 素 面
边 点
正则形体 是形体表面的一部分
只有两个邻面 至少和三个面（或三条边） 邻接
非正则形体
可以是形体表面的 一部分，也可以是 形体内的一部分， 也可以与形体相分 离。
可以有多个邻面、 一个邻面或没有邻 面。
实体的性质
具有一定的形状 具有确定的封闭的边界 是一个内部连通的三维点集 占据有限的空间 经过任意的运算后，仍为有效实体
非有效物体
悬面
悬边
非有效物体
V
一条边有两个 以上邻面
悬边 点V的小邻 域不是单连通域
三维实体的表示（1/7）
模型分类
三维实体的表示（2/7）
数据模型
数据模型——分解表示（8/8）
– 优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体
– 缺点
物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证
数据模型——构造实体几何表示（1/5）
构造实体几何表示 constructive solid gemetry，简称CSG 采用单一的“建筑块”形式的实体造型
形体所有面上的内环总数（r：ring） 穿透形体的孔洞数（h:hole） 实体的个数(s:solid)
扩展的欧拉公式： V-E+f=2(s-h)+r
例：
V-E+f=2(s-h)+r
V=14,
E=21,
F=9,
S=1,
H=1,
形体所有面上的内环总数（r：ring） R=2
穿透形体的孔洞数（h:hole） 实体的个数(s:solid)
– 包括----随机插值模型、迭代函数系统、 L系统、粒 子系统、复变函数迭代等
表示实体的方法
数据模型——边界表示（1/12）
Boundary Representation， 也称BR表示或BRep表示
– 最成熟、无二义性
物体的边界与物体一一对应
– 实体的边界是表面的并集 – 表面的边界是边的并集
，有二义性 – 不便进行光照或消隐处理，不适合真实感显示和数控加工
用线框模型表示的有二义性的物体
三维实体的表示（5/7）
表面模型 ----物体的皮肤
– 将形体表示成一组表面的集合，形体与其表面一一对应，避 免了二义性
– 能够满足真实感显示和数控加工等需求 – 只有面的信息，形体信息不完整 – 无法计算和分析物体的整体性质（如体积、重心等） ，限制
数据模型——边界表示(11/12)
在边界表示的数据结构中，比 较著名的有：
半边数据结构
辐射边数据结构
翼边数据结构
– 1972年由美国斯坦福大学 B.G.Baumgart等人提出
– 是以边为核心来组织数据的一种
左外环 右外环
e
左下边
右下边 P1
翼边数据结构
数据模型——边界表示(12/12)
v=8,e=13,f=7
数据模型——边界表示（8/12）
欧拉物体
– 满足欧拉公式的物体
欧拉运算
– 增加或者删除面、边和顶点以生成新的欧拉 物体的过程
数据模型——边界表示（9/12）
欧拉运算时，必须要保证欧拉公式和下述条件 成立，才能够保证形体的拓扑有效性。
– 面单连通，没有孔，且被单条边环围住； – 实体的补集是单连通，没有洞穿过它； – 边完全与两个面邻接，且每端以一个顶点结束； – 顶点至少是三条边的汇合点。
中，因此，显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间 – 求交计算麻烦
– 如果它内部没有物体，将该节点标记为 E(Empty)，算法结束；
– 如果它被物体部分占据，将该节点标记为 P(Partial)，并将它分割成8个子立方体，对每一 个子立方体进行同样的处理
数据模型——分解表示（5/8）
– 优点
可以表示任何物体,数据结构简单 容易实现物体间的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 较空间位置枚举表示占用的存贮空间少
V-E+f=2(s-h)+r
形体所有面上的内环总数（r：ring） 穿透形体的孔洞数（h:hole） 实体的个数(s:solid)
在一个长方体上打了一个未穿透的方孔
V=16, e=24, f=11, s=1, h=0, r=1 16-24+11=3 2(1-0)+1=3
AC
BD
V-E+f=2(s-h)+r
– 缺点
是物体的非精确表示 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难
数据模型——分解表示（6/8）
单元分解（cell decomposition）表示
– 多种体素
(a) 棱锥体素
(b) 长方体体素
(c) 图(a)和(b)两种体素的并集
数据模型——分解表示（7/8）
三种空间分割方法的比较 – 空间位置枚举表示----同样大小立方体 – 八叉树表示----不同大小的立方体单元 分解表示----多种体素
最有代表性的两个几何造型系统
– Parasolid：1985年，Shape Data公司 – ACIS： 1990年，美国Spatial Technology
公司
目前，许多流行的商用CAD/CAM软件， 如Unigraphics、Solidedge、Solidwork 、MDT等，都在Parasolid或ACIS基础上 开发。
正则形体与非正则形体：
– 要保证几何造型的可靠性和可加工性，形体上任意一点的 足够小的邻域在拓扑上必须是一个等价的封闭圆，即该点 的邻域在二维空间中是一个单连通域
– 点至少和三个面（或三条边）邻接，不允许存在孤立点 – 边只有两个邻面，不允许存在悬边 – 面是形体表面的一部分，不允许存在悬面
P
有悬面
5
1
2
3
1
4
2 (a)v=8,e=12,f=6 增加一条边：v=8,e=13,f=7
(b) v=9,e=14,f=7 形体的欧拉运算
正则 形体
5
2
3
1
4
(c) v=9,e=16,f=9
数据模型——边界表示(10/12)
广义欧拉公式
欧拉公式：V-E+F=2（对任意的简单多面体） 对任意的正则形体，引入形体的另外参数：
数据模型——边界表示（2/12）
用于表示物体边界的有
– 平面多边形 – 曲面片
平面多面体
– 表面由平面多边形组成的多面体
曲面体
– 由曲面片组成的物体
数据模型——边界表示（3/12）
描述形体的信息：
– Geometry
描述形体的几何元素（顶点、边、面）之间的连接关系， 形成物体边界表示的“骨架”
1980年，Evans & Sutherland开始将ROMULUS投 放市场
80年代末，NURBS曲线曲面设计方法，不仅能对 已有的曲线曲面（如Bezier方法、B样条方法等）进 行统一表示，还能精确表示二次曲线曲面。
实体造型系统的发展（3/3）
国际标准化组织
– 将NURBS作为定义工业产品形状的唯一数 学方法 。
优点
– 表示简单、直观，无二义性 – 数据量比较小，内部数据的管理比较容易 – 形体形状容易被修改 – 可用作图形输入的一种手段 – 容易计算物体的整体性质 – 物体的有效性自动得到保证
缺点
– 表示物体的CSG树不唯一 – 受体素种类和对体素操作种类的限制，CSG方法表示形
体的覆盖域有较大的局限性 – 形体的边界几何元素（点、边、面）隐含地表示在CSG
– Topology
描述形体的几何元素性质和度量关系， 如位置、大小、方向、尺寸、形状等信息 犹如附着在“骨架”上的肌肉
数据模型——边界表示（4/12）
表示形体的基本几何元素 ：
– 顶点（Vertex） – 边（Edge）
– 面（Face）
– 环（Loop） – 体（Body）
数据模型——边界表示（5/12）
– 完全以数据描述 – 以数据文件的形式存在
– 包括----边界表示、分解表示、构造表示等
三维实体的表示（3/7）
线框模型 ----物体的骨架 表面模型 ----物体的皮肤 实体模型 ----”有血有肉”的物体模型
三维实体的表示（4/7）
线框模型 ----物体的骨架
– 形体表示成一组轮廓线的集合，只需建立三维线段表 – 数据结构简单、处理速度快 – 所构成的图形含义不确切，与形体之间不存在一一对应关系
– 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与 单位小立方体一一对应
数据模型——分解表示（2/8）
– 优点
可以表示任何物体 容易实现物体间的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等
– 缺点
是物体的非精确表示 占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换
优点
– 精确表示物体 – 表示覆盖域大，表示能力强 – 容易确定几何元素间的连接关系，几何变换容易 – 显式表示点、边、面等几何元素，绘制速度快