例3 证明 n 阶上三角行列式
a11 a12
Un
a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
例4 证明 n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式，如果把行列式 D 的行列互换（行
线性代数是高等院校理工和经管各专业本科生的一 门必修的数学基础课程，它既是其它数学课程的必备基 础，也是解决实际问题的重要工具．
本课程主要是介绍线性代数理论的经典内容，包括 行列式、矩阵、线性空间、线性方程组、线性变换、特 征值和特征向量、二次型等，并以附录形式简单介绍了 欧氏空间．
第一章 行列式
第一节 行列式的基本概念
一、行列式的定义
１. 排列及逆序数
定义1 将 n 个不同的自然数 m1, m2 ,
一个有序数组称为一个 n 级排列.
, mn组成的
定义1＇ 将自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组称 为一个 n 级排列．
例1 试写出所有的 3 级排列．
1 2 3, 13 2, 213, 2 31, 31 2, 3 21
不同列的 n 个数的乘积
的代数和，
a a a 1 j1 2 j2
njn
（2）
其中 j1 j2 jn 是 1, 2, , n 的一个 n 级排列，并且
对每一个乘积项（２）式冠以正负号，规定：
当 j1 j2 当 j1 j2
于是
jn 是偶排列时，（２）式带正号； jn 是奇排列时，（２）式带负号．
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
（3）
其中 表示对所有 n 级排列的求和． j1 j2 jn
定义5 在（１）式中，将 a11a22 ann 所在的那条对
角线称为行列式的主对角线; 而另外一条对角线称为
变为列，列变为行），就得到一个新的行列式
a11 a21
an1
DT a12 a22
an2
a1n a2n
ann
将行列式 DT 称为 D 的转置行列式．
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
a11 a12
a1n a11 a21
an1
a21 a22
a2n a12 a22
an2
an1 an2
ann a1n a2n
１）一阶行列式 | a | a
注意：这个符号不要与绝对值的符号相混淆． ２）二阶行列式
a11 a21
a12 a22
(1) (12) a11a22 (1) (21) a12a21 a11a22 a12a21
主对角线上的两个元素的乘积减去副对角线上两个
元素的乘积．
对角线法则
a11 a12 a21 a22
３）三阶行列式
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素 的乘积冠以负号．
(1)n( j1 j2 jn ) (1) ( j1 j2 jn )
２. 行列式的定义
定义4 将由 n2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 组成的算式
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
（1）
an1 an2
ann
称为 n 阶行列式，算式 D 定义为所有取自不同行
例2 计算三阶行列式
1 3 2 D 3 2 2
2 1 1
解 由对角线法则，有
D 1 2 (1) 3 2 2 (2) (3) 1 1 21 3 (3) (1) (2) 2 2
2 12 6 2 9 8 13
符号 ( i,ห้องสมุดไป่ตู้j ) 表示．
定理 1 任何一个对换都可以改变排列的奇偶性，也 就是说，经过一次对换，偶排列变成奇排列，奇排列 变成偶排列．
定理2 设 j1 j2 jn 是任意一个 n 级排列，则
j1 j2 jn 与 1 2 n 可以经过一系列对换互变，
并且所作对换的个数 n( j1 j2 jn ) 的奇偶性与逆序 数 ( j1 j2 jn ) 的奇偶性相同， 即
一般地，可利用如下方法计算 n 级排列的逆序数：
设 j1 j2 jn 是一个 n 级排列，如果把排在 ji
（ i 1, 2, , n ）前面且比 ji 大的数的个数记为 si，
则 j1 j2 jn 的逆序数为
例如
( j1 j2 jn ) s1 s2 sn
(2 3 5 41) 0 0 0 1 4 5
ann
提示：此性质说明，行列式中的行与列是对称的， 即行和列具有同等的地位．对行成立的性质，对 列也成立；对列成立的性质，对行也成立．
性质2 交换行列式两行（列）的位置得到的新行列 式与原行列式相差一个负号．
副对角线，即
a1na2,n1 an1
所在的对角线．将除了主对角线以外元素全为 0 的行
列式称为对角行列式；将主对角线以下都是 0 的行列 式称为上三角行列式， 即
当 i j 时，aij 0 ； 将主对角线以上都是0的行列式称为下三角行列式，即
当 i j 时，aij 0．
低阶行列式的计算
(3 2 5 41) 0 1 0 1 4 6
(1 2 n) 0 0 0 0．
定义3 在一个 n 级排列中，如果把这个排列里的任
意两个数 i 和 j 交换一下位置，而其余的数保持不
动，那么就得到了一个新的 n 级排列．对排列施行 这样的一个变化称为 n 级排列的一次对换，并且用
定义 2 在一个 n 级排列中，如果某两个数的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数 就称为这个排列的逆序数．
通常，将 j1 j2 jn 的逆序数记成 ( j1 j2 jn )， 并且我们将逆序数为奇数的排列称为奇排列，将逆 序数为偶数的排列称为偶排列．