相交线与平行线知识点1.相交线同一平面中，两条直线的位置有两种情况：相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4；邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。

像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。

所以，对顶角相等例题：1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD2_______，127，则∠=⊥，∠=︒FOB__________。

∠=CEA 2 O B1FD垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。

如图所示，图中AB⊥CD，垂足为O。

垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90︒。

例题：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26︒，求∠EOD，∠2，∠3的度数。

(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？)垂线相关的基本性质：（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？*线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如何作下图线段的垂直平分线？2.平行线：在同一个平面永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b3.同一个平面中的三条直线关系：三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；例题：如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。

）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；*错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做错角；*同旁角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁角；指出上图中的同位角，错角，同旁角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，错角，同旁角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：1.如图，已知∠1＋∠2＝180︒，∠3＝180︒，求∠4的度数。

2.如图所示，AB//CD，∠A＝135︒，∠E＝80︒。

求∠CDE的度数。

平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，错角相等，同旁角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD平行线判定定理2：错角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁角互补，两直线平行如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就可以说AB//CD平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到。

例题：1.已知：AB//CD，BD平分∠A B C，DB平分∠A D C，求证：DA//BC12，2.已知：AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且∠=∠A F。

∠=∠C D，求证：∠=∠（3）有三个交点当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。

如下图所示：你能指出其中的同位角，错角和同旁角吗？ 三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：即a//b//c 。

这也是同一平面三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与CD 有怎样的位置关系，为什么？练 习 题一．选择题：1. 如图，下面结论正确的是（ ） A. ∠∠12和是同位角 B. ∠∠23和是错角 C. ∠∠24和是同旁角 D. ∠∠14和是错角2. 如图，图中同旁角的对数是（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对3. 如图，能与α构成同位角的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12 34α4. 如图，图中的错角的对数是（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对D. 5对5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（ ）A. 42138 、B. 都是10C. 42138 、或4210 、D. 以上都不对二．填空1． 已知：如图，AO BO ⊥∠=∠，12。

求证：CO DO ⊥。

证明： AO BO ⊥（ ）∴∠=︒AOB 90（ ） ∴∠+∠=︒1390 ∠=∠12（ ）∴∠+∠=︒2390 ∴⊥CO DO （ ） 2． 已知：如图，COD 是直线，∠=∠13。

求证：A 、O 、B 三点在同一条直线上。

证明： COD 是一条直线（ ）∴∠+∠=12___________（ ）∠=∠13（ ） ∴__________+∠=3__________ ∴_______________（ ）三．解答题 1．如图，已知：AB//CD ，求证：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）EABCD2．已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A=∠D ，∠1=∠2，求证：∠B=∠C 。

B CD2 31 O A AC 12 O 3DB2ABECFDHG13．已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。

求证：AE BD //4．已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠CDA ，BF 平分∠CBA ，且∠=∠ADE AED 。

求证：DE FB //5．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012，。

求证：∠=∠E F6．已知：如图，∠=∠∠=∠∠=∠123456，，。

求证：ED FB //FE4A G 1B53 6 2CD第二章:平行线与相交线一、精心选一选（请将答案填写在下面的表格.每题3分，共30分）1AE 3124 BCDD F CAEBA B1 EF 2 CPDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、一个角的余角是46°,这个角的补角是( )A ．134°B ．136°C ．156°D ． 144° 3、已知：如图,∠1＝∠2,则有( )A ．AB ∥CD B ．AE ∥DFC ．AB ∥CD 且AE ∥DF D ．以上都不对4、下列说确的是( )A ．相等的角是对顶角B ．同旁角互补C ．一个角的余角小于它的补角D ．同位角相等5、如图，两直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截，∠1＝70°，下列说法中， 不正确．．．的是（ ） A ．若∠3＝70°，则AB ∥CD B ．若∠4＝70°，则AB ∥CD C ．若∠5＝70°，则AB ∥CD D ．若∠4＝110°，则AB ∥CD 6、如图，若m ∥n ，∠1＝105°，则∠2＝______（ ） A ．55° B ．65° C ．75° D ．60° 7、如图，若1l ∥1l ，∠1＝45°，则∠2＝______度．（ ） A ．45° B ．75° C ．135° D ．155° 8、如图：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，则下列结论中成立的是（ ） A ．∠A ＋∠B ＝180° B ．∠B ＋∠D ＝180° C ．∠B ＋∠C ＝180° D ．∠A ＋∠C ＝180° 9、如图，若AB ∥CE ，下列正确的是（ ）A ．∠B ＝∠ACB B ．∠B ＝∠ACEC ．∠A ＝∠ECD D ．∠A ＝∠ACE2F DCB A E 1 （第3题图）4 3 1 FDBA C E2 5（第5题图）21nm（第6题图）AE（第11题图）（第12题图）（第13题图）10、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，∠COE =55°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．40° B ．45° C ．30° D ．35°二、细心填一填（请把最后答案填写在横线上，每空2分，共30分）11、如图，（1）当 ∥ 时，∠DAC ＝∠BCA.（2）当 ∥ 时，∠ADC ＋∠DAB ＝180°. （3）当∠_____＝∠_____时，AB ∥DC.12、如图，直线AB 、CD 和EF 相交，则有：∠1与∠2是_______角. ∠1与∠3是_______角. ∠3与∠4是_______角. ∠2与∠3是_______角. ∠1与∠4是_______角.13、如图：如果∠1＝∠2，那么根据_____________________________，可得AB ∥CD. 如果∠A ＝∠EDC ，那么根据___________________________，可得AB ∥CD. 如果∠____＋∠_____＝180°,那么根据同旁角互补，两直线平行，可得AB ∥CD.三、仔细做一做（本大题共40分）14、（6分）尺规作图：如图，以点B 为顶点，射线BC 为一边，（1）利用尺规作EBC ，使得∠EBC ＝∠A ； （2）判断EB 与AD 的位置关系：__________.（填：平行，相交）DCAB15、（8分）如图,在下列横线上填写.∵∠l ＝135°（已知）∴∠3＝∠135°（___________） 又∵∠2＝45°（已知） ∴∠_____＋∠_____＝180°∴a ∥b （________________________________） 16、（8分）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由.已知：如图，AD ∥BC ，AD 平分∠EAC. 试说明：∠B ＝∠C解：∵AD 平分∠EAC （已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义） ∵AD ∥BC （已知）∴∠1＝∠______ （ ） ∠2＝∠______ （ ） ∴∠B ＝∠C17、（12分）在括号填写理由．如图，已知∠B ＋∠BCD ＝180°，∠B ＝∠D ． 求证：∠E ＝∠DFE ．证明：∵∠B ＋∠BCD ＝180°（已知），∴AB ∥CD （___________________） ∴∠B ＝∠DCE （___________________） 又∵∠B ＝∠D （_______）， ∴∠DCE ＝∠D （_________） ∴AD ∥BE （______________）∴∠E ＝∠DFE （____________________）1 E DCBA2（第16题图）C（第17题图）（第15题图）ca3 1 2b18、（6分）如图，直线MN 与直线AB 、CD 相交于点M 、N ，且∠3＝∠4，试说明∠1＝∠2.第二章:平行线与相交线 答案11、（1）AD 、BC （2）AB 、CD （3）∠BAC 、∠ACD12、同位角； 错角； 同旁角； 对顶角； 邻补角. 13、错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行； ∠C 、∠ABC 或 ∠A 、∠ADC三、仔细做一做（本大题共40分）14、（6分）尺规作图：（2）判断EB 与AD 的位置关系：如（1）：平行；如（2）相交.（填：平行，相交）15、（8分）如图,在下列横线上填写.对顶角相等； ∠2、 ∠3； 同旁角互补，两直线平行. 16、（8分）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由.∠B ； 两直线平行，同位角相等； ∠C ； 两直线平行，错角相等.（第18题图） 41NMDCBA23 DCABE(1)D CAB E(2)17、（12分）在括号填写理由． 18、（6分）解：理由同旁角互补，两直线平行；∵∠3＝∠4（已知）两直线平行，同位角相等；∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）已知；∴∠1＝∠2（两直线平行，错角相等）等量代换；错角相等，两直线平行；两直线平行，错角相等.测验题平行线与相交线班级一、填空题：(每空2分，共30分)1．同一平面，两条直线的位置关系有、两种。