天津市实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：（每小题4分，共32分）1．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．下列说法正确的是（ ）．（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）3．在ABC △中(4,0)A -,(4,0)B ，ABC △的周长是18，则定点C 的轨迹方程是（ ）．A ．221259x y +=B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠ 4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥B ．若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥5．如图所示，直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）．A ．15B ．25CD6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）．A ．38cm B ．312cmC ．332cm 3D ．340cm 37．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）．侧视图俯视图DA BCPQM N（1）AC BD ⊥ （2）AC ∥截面PQMN（3）AC BD = （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45︒A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60︒，则点C 到平面1ABC 的距离为（ ）．ABCC 1B 1A 1AB ．34C ．1D ．32二、填空题：（每小题4分，共16分）9．已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1__________．10．方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________． 11．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有__________． （1）AC BD ⊥；（2）ADC △是正三角形；（3）三棱锥C ABD -3； （4）AB 与平面BCD 成角60︒．12．设1F ，2F 分别是椭圆22:1(01)y E x b b2+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为__________．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．求经过两点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F 分别是A D ''和CC '的中点． （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值．（2）在棱BB '上是否存在一点P ，使得二面角P AC B --的大小为30︒？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ．（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．DA BP16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0)c ，(0,)b 的直线的距离为12c ．（1）求椭圆E 的离心率．（2）如图，AB 是圆225:(2)(1)2M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．天津市实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题：（每小题4分，共32分）1．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11BC AD ∥， 连接1AB ，11B D ， 则1111AD AB B D ==， ∴11AD B △为等边三角形，故1160AD B ∠=︒，即1AD 与11B D 所成角为60︒， 即1BC 与1B D 所成角为60︒． 故选C ．2．下列说法正确的是（ ）．（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）【答案】C【解析】（1）．错误，三点不共线才能确定一个平面． （2）．正确，圆上三点不共线，可以确定一个平面．（3）．错误，四个点也不能在同一条直线上，才能确定一个平面． （4）．正确． 故选C ．3．在ABC △中(4,0)A -,(4,0)B ，ABC △的周长是18，则定点C 的轨迹方程是（ ）．A ．221259x y +=B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠ 【答案】D【解析】∵(4,0)A -，(4,0)B ， ∴||8AB =，又∵ABC △的周长为18， ∴||||10BC AC +=，∴顶点C 的轨迹是一个以A 、B 为焦点的椭圆． 则5a =，4c =，2229b a c =-=， ∴顶点C 的轨迹方程为221(0)259x y y +=≠． 故选D ．4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥B ．若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】A ．一组线线平行，不能推出面面平行，故A 错；B ．若m n ∥，则不能推出αβ∥，故B 错；C ．α与β可能平行，可能相交，故C 错；D ．垂直于同一直线的两平面相互平行，正确．5．如图所示，直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）．A ．15B ．25CD 【答案】D【解析】直线l 的斜率为12，则12b c=， 12=，解得c a =6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）．正视图侧视图俯视图A ．38cmB ．312cmC ．332cm 3D ．340cm 3【答案】C【解析】见空间几何体下半部分1V 为边长为2的正方体，其上半部分2V 是一个底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥，故其体积为两部分体积之和1212222223V V V =+=⨯⨯+⨯⨯⨯，332cm 3=． 故选C ．7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）．DA BCPQM N（1）AC BD ⊥ （2）AC ∥截面PQMN（3）AC BD = （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45︒A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵MN PQ ∥， ∴PQ ∥面ACD ， 又∵平面ACD 平面ABC AC =，∴PQ AC ∥，∴AC ∥截面PQMN ．②正确； 同理可得MQ BD ∥， 故AC BD ⊥．①正确， 又MQ BD ∥，45PMQ ∠=︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故④正确．根据已知条件无法得到AC 、BD 长度之间的关系，故③错误． 故选C ．8．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60︒，则点C 到平面1ABC 的距离为（ ）．ABCC 1B 1A 1AB ．34C ．1D ．32【答案】B【解析】点C 到平面1C AB 的距离为h ，∵ABC S =△，1cos60ABC ABC S S =︒△△， ∵1C ABC C ABC V V --=，即111133ABC ABC S C C S h ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴34h =． 故选B ．二、填空题：（每小题4分，共16分）9．已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1__________． 【答案】9π【解析】长方体外接球的直径3d =， ∴半径322d r ==， ∴长方体外接球的表面积为2234π4π9π2S r ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．10．方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________． 【答案】10,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，∴20(1)0(1)2m m m m >⎧⎪-->⎨⎪-->⎩， 解得10,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．11．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有__________． （1）AC BD ⊥；（2）ADC △是正三角形；（3）三棱锥C ABD -3； （4）AB 与平面BCD 成角60︒．【答案】（1）（2）（3）【解析】∵BD OC ⊥，BD OA ⊥， ∴BD ⊥面AOC ， ∴BD AC ⊥．①正确．1cos cos45cos452ADC ∠=︒⋅︒=， 60ADC ∠=︒，AD DC =，ADC △为正三角形．②正确．231132212C BDA V a a -=⋅⋅⋅=．③正确．AB 与平面BCD 所成角45ABD ∠=︒．④错误．DAB CO12．设1F ，2F 分别是椭圆22:1(01)y E x b b2+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为__________．【答案】22312x y += 【解析】设点A 在x 轴的上方，1(,0)F c -，2(,0)F c ，0(,)A c y ， 由11||3||AF F B =，可得113AF F B =，易得05,33y B c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又点A 、B 在椭圆E 上，故22022202125199y c b y c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 化简得213c =，∴22223b ac =-=， 故椭圆E 的方程为22312y x +=．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．求经过两点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】标准方程：2211145x y +=． 长轴长：1．．焦点：⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭． 顶点坐标：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，⎛⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭． 【解析】设所求椭圆方程为221Ax By +=，(0,0)A B >>，依题意，得2221115334112A B A B B ⎧⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪=⎧⎪⎝⎭⎝⎭⇒⎨⎨=⎩⎪⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 故所求椭圆的标准方程为2211145x y +=．长轴长21a =，短轴长2b =，离心率：c e a ==焦点为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭， 顶点坐标1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，⎛ ⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F 分别是A D ''和CC '的中点．（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值．（2）在棱BB '上是否存在一点P ，使得二面角P AC B --的大小为30︒？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2． 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，PO G FECB AD D'C'B'A' 又∵E 为A D ''中点，∴EG A B AB ''∥∥，连结GF ，则FEG ∠即为异面直线EF 与AB 所成角，∵F 为CC '中点，正方体边长为2，∵2EG A B ''==，EF ==，∴cos EG FEG EF ∠== 故异面直线EF 与AB． （2）存在，在棱BB '上取一点P ，由题意可知，BP ⊥面ABC ，连结AC ，BD 交于点O ，易知BO AC ⊥，BO = 连结PO ，则POB ∠为二面角P AC B --的平面角，当30POB ∠=︒时，即tan PB POB BO ∠==解得BP =∴当BP =P AC B --的大小为30︒．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==D BP（1）求证：PD ⊥平面PAB ．（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析．（2．（3）存在，14AM AP =． 【解析】（1）∵面PAD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，且AB AD ⊥， ∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∵PD PA ⊥，PAPB A =，∴PD ⊥面PAB ． （2）如图所示建立空间直角坐标系，x设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，∴(1,0,1)P ，(0,1,0)B ，(1,2,0)C ，(2,0,0)D ，则有(1,1,1)PB =--，(0,2,1)PC =-，(1,0,1)PD =-， 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =．由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20(2,1,2)0y z n x z -=⎧⇒=⎨-=⎩，∴sin ||||PB n PB nθ⋅===⋅． 又∵直线PB 与平面PCD 所成角为锐角，． （3）假设存在这样的M 点，设点M 的坐标为(,0,)a a ．则(,1,)BM a a =-，要使直线BM ∥面PCD ， 即需要求BM n ⊥．∴2120a a -+=，解得14a =， 此时14AM AP =． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0)c ，(0,)b 的直线的距离为12c ．（1）求椭圆E 的离心率．（2）如图，AB 是圆225:(2)(1)2M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（1．（2）221123x y +=． 【解析】（1）过点(,0)c ，(0,)b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到该直线的距离bc d a==， 由12dc =得2a b ==解得离心率c a =． （2）由（1）知椭圆E 的方程为22244x y b +=，由题意，圆心(2,1)M -是线段AB的中点，且||AB =AB 与x 轴不垂直，设其AB 方程为(2)1y k x =++，代入椭圆方程得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1228(21)14k k x x k ++=-+，221224(21)414k b x x k +-⋅=+， 由124x x +=-得28(21)414k k k -+=-+， 解得12k =，从而21282x x b =-，于是12||||AB x x =-=解得23b =，过椭圆E 的方程为221123x y +=．。