1． 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB 的度数等于 64°. 2．如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为 8.
3．如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，那么 BD ＝3 3.
1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的 ． 2．圆心角、圆周角性质的应用． 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用．
(1)(2010·重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC 的
∴AB＝2OB＝4OP＝4 3 cm. (2)①∵AB 是半圆的直径，点 C 在半圆上， ∴∠ACB＝90°.在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 ②∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°. 又∠ACB＝90°， ∴∠APE＝∠ACB.又∵∠PAE＝∠CAB， ∴△AEP∽△ABC，∴BPEC＝AACP ，∴P6E＝10×8 12，∴PE＝145.
A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm 或 7 cm
(4)(2010·南通)如图，⊙O 的直径 AB＝4，点 C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则 AC 的长是( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
【点拨】本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质或定理是做好此类题的关键．
【解答】(1)∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°，故选 A.
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．
2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条 弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．
考点四 圆心角与圆周角
1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
转．不．变．性．．．
考点二 垂径定理及推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平 分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
平分弦所对的另一条弧．
考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
度数等于( )
A．140°
B．130°
C．120°
D．110 °
例 1(1)题
例 1(2)题
(2)(2010·哈尔滨)如图，AB是⊙O 的弦，半径 OA＝2，∠AOB＝120°，则弦 AB 的长是( ) A．2 2 B．2 3 C. 5 D．3 5
(3)(2010·襄樊)已知：⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则 AB、CD 之间的距离为( )
则弦 CD 的长为( B )
3 A.2 cm
B．3 cm
C．2 3 cm
D．9 cm
(第 5 题)
(第 6 题)
6. 如图，在⊙O 中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 3 cm.(1)求∠BAC 的度数；(2)求⊙O 的周长．
(2)如图，作 OE⊥AB 于 E，则 OE 平分 AB，即 AE＝BE.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOE＝60°，∴AE＝OA·sin60°＝ 3. ∴AB＝2AE＝2 3，故选 B. (3)当两条平行弦在圆心同侧时，AB、CD 之间的距离为 7 cm，当两条平行弦在圆心异侧 时，AB、CD 之间的距离为 17 cm，故选 D. (4)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝2，故选 D.
(1)(2010·南通)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm，求直径 AB 的长．
例 2(1)题
例 2(2)题
(2)(2009·南充)如图，半圆的直径 AB＝10，点 C 在半圆上，BC＝6. ①求弦 AC 的长；②若 P 为 AB 的中点，PE⊥AB 交 AC 于点 E，求 PE 的长．
(第 3 题)
(第 4 题)
4．如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数是 50°，
则∠C 的度数是( A )
A．25°
B．40°
C．30°
D．50°
5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 3 cm，
【点拨】(1)题考查垂径定理及其推论． (2)题主要考查“直径所对的圆周角为直角，勾股定理及三角形的相似判定和性质”，属 于综合题．仔细审题，明确已知和未知条件是关键．
【解答】(1)连结 OC、BC，则根据 AB⊥CD 且 P 是 OB 的中点，得 OC＝BC. ∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 由垂径定理得 CP＝12CD＝12×6 cm＝3 cm. 在 Rt△POC 中，tan∠COP＝COPP＝ 3，∴OP＝ 3 cm
第六章 圆
第 25 讲 圆的有关性质
考点一 圆的定义及其性质 1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转 所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重Байду номын сангаас，这就是圆的旋．