如图1，已知平行四边形ABCD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°．将△ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DE AC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江18”，可以体验到，△ACH 是等腰直角三角形，DE 与AC 平行．答案 1．思路如下：如图2，设CE 与AD 交于点H ．由∠ACB ＝45°，可知∠BCE ＝90°．所以△ACH 是等腰直角三角形．所以===CE CB CA CH CH CH 1=EH CH． 由△EAC ≌△BAC ≌△DCA ，可知A 、D 两点到AC 的距离相等．所以DE //AC ．所以1==DE EH AC CH ．图2如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋b x 的顶点为C (1,－1)，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，使用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江24”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积比等于PH 与CE 的比．思路点拨1．函数的解析式中待定两个系数，需要知道两个点的坐标．看似缺少条件，其实解析式中隐含了抛物线经过原点．2．△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积相等时高也相等．图文解析（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －1)2－1＝ax 2－2ax ＋a －1．对照y ＝ax 2＋b x ，根据常数项相等，得a －1＝0．所以a ＝1．所以抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ，设对称轴与x 轴交于点E ，那么E (1, 0)．已知点P 的横坐标为m ，那么PH ＝m 2－2m ． 由=BE PH OE OH ，得221-=BE m m m．所以BE ＝m －2． 所以BC ＝BE ＋EC ＝m －2＋1＝m －1．图2 图3（3）如图3，因为△ABP 与△ABC 是同高三角形，当它们的面积相等时，底边AP ＝AC ． 此时PH ＝CE ＝1．所以点P 的纵坐标为1．解方程m 2－2m ＝1，得1=m当1=m 时，PH ＝m 2－2m ＝m (m －2)＝1)＝1．所以点P 的坐标是(1．考点伸展第（3）题可以从不同的角度认识△ABP 和△ABC ．例如，如图3，当△ABP 与△ABC 的面积相等时，△PBC 是△ABC 面积的2倍，这两个三角形有公共底边BC ，所以高EH 是高EA 的2倍．于是得到A 是EH 的中点，进一步得到P 、C 两点的纵坐标互为相反数．再如，把BA 看作△ABP 与△ABC 的公共底边，那么P 、C 两点到直线BA 的距离相等．由于两条高是平行且相等的，这样也可以得到A 是PC 的中点．例 2018年上海市松江区中考模拟第25题如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE //CD ，交BC 的延长线于点E ．（1）求CE 的长；（2）P 是CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q ．①如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；②如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江25”，拖动点P 在CE 的延长线上运动，可以体验到，⊙A 与⊙C 可以内切，不可能外切．思路点拨1．图形中A 、B 、C 、D 、E 等5个点都是确定的，因此图1中所有线段和角都是确定的．因为点P 而动的线段CP 、EP 、AP 、AQ ，都可以用CP ＝x 来表示．2．如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠P ＝∠ACQ ＝∠CAE 也是确定的．3．对于⊙A 与⊙C ，⊙C 的半径和圆心距是确定的，如果两圆相切，⊙A 的半径AQ 就是确定的．图文解析（1）如图2，由DC //AE ，得 DC BC AE BE．因为DC ＝BC ，所以AE ＝BE ． 设CE ＝m ，那么在Rt △ACE 中，AE ＝BE ＝2＋m ，AC ＝3．由勾股定理，得(2＋m )2＝32＋m 2．解得CE ＝m ＝54．图2 图3（2）①如图2，在Rt △ACE 中，CE ＝54，AC ＝3，所以tan ∠CAE ＝512． 如图3，如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠ACQ ＝∠P ．又因为∠ACQ ＝∠CAE ，所以∠P ＝∠CAE ．在Rt △ACP 中，tan ∠P ＝AC CP ＝512，所以CP ＝125AC ＝365． ②对于⊙A ，r A ＝AQ ；对于⊙C ，r C ＝2；圆心距d ＝AC ＝3．当⊙A 与⊙C 内切时，AQ －2＝3，此时AQ ＝5．当⊙A 与⊙C 外切时，AQ ＋2＝3，此时AQ ＝1．如图3，在Rt △ACP 中，AC ＝3，设CP ＝x ，那么AP如图4，由DC //AE ，得555()4445==÷-=-AQ EC x AP EP x ．当AQ ＝5545=-x 45=-x ． 整理，得15x 2－40x ＋16＝0．解得1 2.18=≈x （如图5所示），20.49=≈x （舍去）．当AQ ＝1545=-x ．所以45=-x ． 整理，得9x 2＋40x ＋200＝0．此方程无实数根，所以⊙A 与⊙C 不可能外切．图4 图5考点伸展第（1）题求CE 的长，还可以这样解：如图6，设⊙C 的直径为BF ，那么∠B 是等腰三角形ABF 的底角．如图7，∠B 是等腰三角形CBD 和等腰三角形EBA 的公共底角．这三个等腰三角形两两相似． 由=BA BF BE BA ，得2134==BA BE BF ．所以CE ＝BE －BC ＝1324-＝54．图6 图7如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于_________．动感体验请打开几何画板文件名“18长宁17”，拖动点C在以AB为直径的半圆O上运动，可以体验到，半高三角形有两种情况，一是等腰直角三角形，二是两条直角边的比为1∶2．答案如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CO是斜边上的中线，那么CO＝12AB＝52为定值．当CD＝12AB时，CD与CO重合，△ABC是等腰直角三角形（如图2所示）．此时△ABC的周长为5+．如图2，当AC＝2BC时，设AC＝2m，BC＝m，由勾股定理，得5m2＝52．解得m ABC的周长为5+图1 图2 图3如图1，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD 上一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁18”，拖动点A 可以改变矩形ABCD 的形状，但是对角线BD 保持不变，可以体验到，△BCP 和△ECP 关于CP 保持对称，当EP //AB 时，∠CED ＝∠ABD ．答案 12．思路如下：已知BD ＝1，设AB ＝x ，那么AD EC ＝BC ＝AD如图2，当EP //AB 时，∠DEP ＝90°．根据等角的余角相等，∠CED ＝∠ABD ． 如图3，如图4，由sin ∠CED ＝sin ∠ABD ，得=DC AD EC BD．1=．整理，得x 2＋x －1＝0．解得12-=x ．图2 图3 图4如图1，在直角坐标平面内，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁24”，可以体验到，△ACD 是直角三角形．拖动点P 在直线CD 上运动，可以体验到，△OCP 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题先证明△ACD 是直角三角形，再计算面积比较方便．2．第（3）题首先要发现并证明△OCP 与△ABC 中一组相等的角，然后根据两边对应成比例分两种情况列方程．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －3)． 对照y ＝ax 2＋bx －3，根据常数项相等，得－3a ＝－3．解得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4．顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (0,－3)、C (3, 0)、D (1,－4)，可得AC 2＝18，AD 2＝2，CD 2＝20． 所以CD 2＝AC 2＋AD 2．所以△ACD 是直角三角形，∠CAD ＝90°．所以S △ACD ＝12⋅AC AD 3．图2 图3 图4（3）第一步，先探求∠OCD ＝∠BAC ．如图3，由C (3, 0)、D (1,－4)，可得tan ∠DCO ＝42＝2．如图4，作BH ⊥AC 于H ．由OA ＝OC ，得AC ＝C ＝45°．在等腰直角三角形BCH 中，BC ＝4，所以BH ＝CH ＝在Rt △BAH 中，AH ＝tan ∠BAC ＝BHAH ＝2． 所以∠OCD ＝∠BAC ． 第二步，当点P 在射线CD 上时，∠OCP ＝∠BAC ，分两种情况讨论相似．如图5，作PM ⊥x 轴于M ，那么CM ＝5，PM ＝2CM ．①当=CP ABCO AC 时，3CP CP 此时CM ＝1，PM ＝2．所以P (2,－2)（如图6所示）．②当=CP ACCO AB 时，3CP CP ． 此时CM ＝95，PM ＝185．所以OM ＝935-＝65，P 618(,)55-（如图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题求△ACD 的面积方法多样．例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积． 再如，如图9，DF 把△ACD 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC ． 还可以由∠OAC ＝∠DAN ＝45°，先证明直角三角形ACD ，再计算面积．图8 图9例 2018年上海市长宁区中考模拟第25题在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC ＝x ，△△ACO OBDS S ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18长宁25”，拖动点C 在AB 上运动，可以体验到，△AOC 与△OBC 是同高三角形，△OBD 与△OBC 也是同高三角形．还可以体验到，四边形AOBD 的两组对边各有一个时刻平行．思路点拨1．圆中已知定弦，一般先求弦心距．2．在△ACO 个△OBD 之间，找一个相关联的△OBC ．3．按照对边平行，分两种情况讨论梯形AOBD ．图文解析（1）如图3，当点D 是弧AB 的中点时，OD 垂直平分弦AB ，垂足为C ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝4，所以OC ＝3．此时CD ＝OD －OC ＝5－3＝2．图3 图4 图5（2）如图5，△ACO 和△OBD 都可以与△OBC 相关联．第一步，用x 表示OC 的长．如图4，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝3，CH ＝4－x ，所以OC第二步，如图5，因为△△ACO OBC S S ＝AC BC ＝8-x x ，△△OBD OBC S S ＝OD OC，所以y ＝△△ACO OBD S S ＝△△△△÷ACO OBD OBC OBC S S S S＝8-x x定义域是0＜x ＜8．（3）如图6，延长BO 交圆于点E ，那么BE 是圆的直径，AE ＝2OH ＝6． 情形1，如图6，如果OA //BD ，那么∠DBA ＝∠BAO ＝∠ABO ．根据相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，此时AD ＝AE ＝6． 情形2，如图7，如果AD //BO ，那么四边形ADBE 是等腰梯形． 作AM ⊥BE 于M ，作DN ⊥BE 于N ，那么AD ＝MN ．在Rt △AEM 中，AE ＝6，cos ∠E ＝35，所以EM ＝35AE ＝185． 此时AD ＝MN ＝BE －2EM ＝181025-⨯＝145．图6 图7 图8考点伸展第（2）题也可以用面积公式求△ACO 的面积，用割补法求△OBD 的面积．如图8，△OBC 和△DBC 的公共底边为BC ，高OH ＝3，求高DG 也要先用x 表示OC 的长，再根据相似比求得DG 的长．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A 为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是______．动感体验请打开几何画板文件名“18崇明17”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，⊙C的半径CF＝AC－AE．答案8≤r＜13．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，所以AC＝13．如果⊙C与⊙A外切于点F，那么⊙C的半径r＝CF＝AC－AE＝13－AE．因为0＜AE≤5，所以8≤r＜13．图1如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明18”，可以体验到，A 、B 、C 、E 四点在以AB 为直径的圆D 上，四边形AEDB 是轴对称图形，可以计算得到对角线EB 的长，进而在直角三角形ECB 中得到CE 的长．答案 如图2，在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在△ABD 中，DA ＝DB ＝5，AB ＝6，容易得到S △ABD ＝12． 所以S 四边形AEDB ＝24．再由S 四边形AEDB ＝12⋅AD EB ＝52EB ＝24，得EB ＝485． 如图3，在Rt △ECB 中，CE 2＝CB 2－EB 2＝224810()5-＝225048()()55-＝2221()(5048)5⨯-＝21()9825⨯⨯＝21()4945⨯⨯．所以CE ＝1725⨯⨯＝145．图2 图3如图1，已知抛物线经过点A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明24”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△AHP 与△APG保持相似．直角三角形AHP的两条直角边的比可以为1∶3，也可以为3∶1．思路点拨1．第（1）题设抛物线的一般式列三元一次方程组比较方便．2．第（2）题先证明△ABC是直角三角形，用勾股定理的逆定理书写起来比较方便．3．第（3）题根据相似三角形的传递性，过点P作y轴的垂线段PH，转化为△AHP与△ABC相似的问题．4．根据直角边对应成比例，分两种情况讨论△AHP与△ABC相似．图文解析（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．将A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)分别代入，得3,1641, 930.=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ca b ca b c解得12=a，52=-b，c＝3．所以215322=-+y x x．（2）如图2，由A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)，得AC2＝18，BC2＝2，AB2＝20．所以AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．所以tan∠BAC＝BCAC13．图2（3）设点P 的坐标为215(,3)22-+x x x ． 如图3，作PH ⊥y 轴于H ，那么△AHP ∽△APG ． 如果△APG 与△ABC 相似，那么△AHP 与△ABC 也相似． 分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似：①如图4，当3==HA CAHP CB 时，3=HA HP ． 解方程21533322-+-=x x x ，得x ＝11，或x ＝0．此时P (11, 36)．②如图5，当13==HA CA HP CB 时，13=HA HP ．解方程215133223-+-=x x x ，得x ＝173，或x ＝0．此时P 1726(,)33．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题求点G 的坐标，也需要先求点P 的坐标．如图4，HG ＝13HP ＝113，此时OG ＝y P ＋HG ＝11363+＝1193．所以G 119(0,)3． 如图5，HG ＝3HP ＝17，此时OG ＝y P ＋HG ＝26173+＝773．所以G 77(0,)3．例 2018年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD·AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明25”，可以体验到，在等腰三角形ANC中，有一个“一线三等角”模型．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在BC运动，可以体验到，△GEF的每个顶点都可以落在对边的垂直平分线上．思路点拨1．第（1）题是典型的“平分＋平行”模型，过点A作BC的平行线交于BD的延长线于M，通过计算得到AM＝AB．2．第（2）题如果想到了“一线三等角”，就构造一个等腰△ANC，问题迎刃而解．3．第（3）题的△GEF中，cos∠GEF是定值，设法用x表示夹∠GEF的两条边，然后分三种情况列方程．图文解析（1）由AB2＝AD·AC，得26416123===ABADAC．所以1641239=÷=ADAC．所以45=ADCD．如图2，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点M，那么45==AM ADBC CD．所以AM＝45BC＝8．所以AM＝AB．所以∠M＝∠ABM．图2 又因为∠M＝MBC，所以∠ABM＝∠MBC，即BD平分∠ABC．（2）第一段，如图3，作AH⊥BC于H，设BH＝m，那么CH＝10－m．由勾股定理，得AB2－BH2＝AC2－CH2．所以82－m2＝122－(10－m)2．解得m＝1．因此cos ∠C ＝93124==CH AC ． 第二段，如图3，以AH 为对称轴，构造等腰三角形ANC ，那么NB ＝8．第三段，如图4，由∠AEC ＝∠N ＋∠NAE ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠CEF ，∠N ＝∠C ＝ ∠AEF ，可得∠NAE ＝∠CEF ．又因为∠N ＝∠C ，所以△ANE ∽△ECF ． 所以=AN EC NE CF ．所以12108-=+xx y． 整理，得280212+-=x x y ．定义域是0＜x ＜10．图3 图4（3）如图5，在△GEF 中，∠GEF 是定值，cos ∠GEF ＝cos ∠C ＝34． 第一步，用x 表示EG 、EF ．如图6，由8==EG BE x AG AM ，得8==+EGBE xAE AM x． 所以8=+xEG AE x．如图4，由△ANE ∽△ECF ，得1012-==EFEC xAEAN ． 所以1012-=xEF AE ．图5 图6第二步，分三种情况讨论等腰三角形GEF ． ①如图7所示，当EF ＝EG 时，10812-=+x x AE AE x ．整理，得x 2＋10x －80＝0．解得5=-x ．此时BE 5． ②如图8所示，当GE ＝GF 时，1324=EF EG ．所以131028412-⨯=⨯+x xx ． 整理，得x 2＋16x －80＝0．解得x ＝4，或x ＝－20．此时BE ＝4． ③如图9所示，当FE ＝FG 时，1324=EG EF ．所以110321248-⨯=⨯+x xx． 整理，得x 2－6x －80＝0．解得3=-x BE 3图7 图8 图9考点伸展第（1）题也可以这样思考：如图10，已知△ABC 的三边，由AB 2＝AD ·AC ，可以求得AD 的长，也可以得到△ABD ∽△ACB ．再根据对应边成比例，求得DB 的长，得到DB ＝DC ，得到∠DBC ＝∠C ．经过等量代换，得到∠ABD ＝∠DBC ．但是这个解法对第（2）、（3）题的帮助不大．图10如图1，点A、B在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC的度数为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定17”，可以体验到，四边形OABC是菱形，△OAB是等边三角形．答案120°．思路如下：如图2，由弦AC与半径OB互相平分，可知四边形OABC是平行四边形．由OA＝OC，得平行四边形OABC是菱形．如图3，由OA＝OB＝AB，得△OAB是等边三角形．于是可得∠AOC＝120°．图2 图3如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC ＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定18”，拖动点C 1绕点A 旋转，可以体验到，△ACC 1与△ADD 1保持相似．答案4225．思路如下： 如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ＝3．所以cos ∠B ＝BHAB＝35． 在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos ∠B ＝365⨯＝185．所以AD ＝1855-＝75．如图3，由△ADD 1∽△ACC 1，得11=AD ACDD CC ． 如图4，当C 1与B 重合时，17556=DD ．此时DD 1＝4225．图2 图3 图4例 2018年上海市嘉定区中考模拟第24题已知平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 经过点A (－4, 0)和点B (n , 3)．（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，该抛物线的顶点为P ，求sin ∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y ＝x ＋m 上，且在第一象限内，直线y ＝x ＋m 与y 轴的交点为D ，如果∠AQO ＝∠DOB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定24”，可以体验到，△ABP 是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△BOD ∽△BQO ．思路点拨1．第（2）题求sin ∠ABP 的值，可以先求tan ∠ABP 的值．如果准确描出A 、B 、P 三点的位置，答案就在图形中．2．第（3）题先根据题意画出示意图，如果能根据∠AQO ＝∠DOB ，发现相似三角形，那么就可以确定BQ 的长，进而求得点Q 的坐标．图文解析（1）将点A (－4, 0)代入y ＝x ＋m ，得－4＋m ＝0．解得m ＝4．将点B (n , 3)代入y ＝x ＋4，得n ＋4＝3．解得n ＝－1．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－4, 0)，可设y ＝(x ＋4)(x －x 2)． 代入点B (－1, 3)，得3＝3(－1－x 2)．解得x 2＝－2．所以y ＝(x ＋4)(x ＋2)＝x 2＋6x ＋8＝(x ＋3)2－1．顶点为P (－3,－1)．如图2，由A (－4, 0)、B (－1, 3)、P (－3,－1)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是3，A 、P 两点间的水平距离和竖直距离都是1，所以∠BAO ＝∠P AO＝45°，AB ＝AP所以在Rt △ABP 中，tan ∠ABP ＝AP AB ＝13．所以sin ∠ABP 图2（3）如图3，由y ＝x ＋4，得D (0, 4)．再由B (－1, 3)，得BO 2＝10，BD 如果∠AQO ＝∠DOB ，那么△BOD ∽△BQO ．所以=BO BQBD BO ．所以2===BO BQ BD 所以B 、Q 两点间的水平距离和竖直距离都等于5．所以Q (4, 8)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以用等角的正切值相等来解．如图4，作BF ⊥y 轴于F ，作OE ⊥AB 于E ．在等腰直角三角形AOE 中，AO ＝4，所以OE ＝E (－2, 2)．由于tan ∠DOB ＝BF OF ＝13，所以tan ∠AQO ＝OE QE ＝13．所以QE ＝3OE ＝． 所以Q 、E 两点间的水平距离和竖直距离都等于6．所以Q (4, 8)．例 2018年上海市嘉定区中考模拟第25题在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在弧AB上，OA＝10，AC＝12，AC//OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；（2）点M在弦AC的延长线上，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M 的位置并求CM的长；（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D 与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定25”，拖动点M在AC的延长线上运动，可以体验到，直角三角形ABM存在两种情况．拖动点D在AC上运动，可以体验到，△OEB与△OAB是同高三角形，y随x的增大而增大．思路点拨1．已知半径和弦，一般情况下先求弦心距．2．直角三角形ABM存在两种情况，∠AMB＝90°和∠ABM ′＝90°，两种情况的图形叠放在一起，BM就是直角三角形ABM′斜边上的高．3．第（3）题用同高三角形的面积比，运算量比较小．图文解析（1）如图4，由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA．由AC//OB，得∠CAB＝∠OBA．所以∠OAB＝∠CAB，AB平分∠OAC．（2）点M存在两种情况：M和M′（如图6所示）．如图5，作OH⊥AC于H，那么在Rt△OAH中，OA＝10，AH＝6，所以OH＝8．如图6，当∠AMB＝90°时，AM＝AH＋HM＝AH＋OB＝6＋10＝16．此时CM＝AM－AC＝16－12＝4．当∠AB M ′＝90°时，∠BAM＝∠M ′BM．所以'81162===M M BMBM AM．所以1'42==M M BM．此时CM ′＝8．图4 图5 图6（3）第一步，如图7，S △OAB ＝12⋅OB OH ＝11082⨯⨯＝40． 第二步，如图8，由1012==-BE BO AE AD x ，得1022=-BE BA x ． 第三步，如图9，由于△OEB 与△OAB 是同高三角形，所以1022△△==-OEB OAB S BE S BA x ． 所以y ＝S △OEB ＝104022⨯-x ＝40022-x．定义域是0≤x ＜12．图7 图8 图9考点伸展第（3）题求△OEB 的面积的方法多样．例如，△ODB 的面积是定值，△OEB 与△ODB 也是等高三角形，底边OE 与OD 的比，同样根据OB 与AD 的比可以推导出来．再如，如果把EB 看作底边，那么高是定值，等腰三角形OAB 的高和底角、底边也是确定的，于是可以根据比例线段推导出EB 的长（用x 表示）．如果两圆的半径之比为3∶2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18金山17”，拖动圆心B向右运动，可以体验到，圆A与圆B 的位置关系依次是内切、相交和外切．答案15．思路如下：设圆A的半径为3m，圆B的半径2m．如图1，当圆A与圆B内切时，圆心距d＝AB＝3m－2m＝3．解得m＝3．如图2，当圆A与圆B外切时，圆心距d＝AB＝3m＋2m＝5m＝15．如图3所示，圆A与圆B相交．图1 图2 图3如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山18”，拖动点P在直线BC上运动，可以体验到，有两个时刻，直线QD与BC垂直，此时Rt△PEQ的三边比为3∶4∶5．答案52或10．思路如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，sin∠B＝35，tan∠B＝34．如图2，设直线QD与BC交于点E，当QD⊥BC时，E为垂足．已知D为AB的中点，所以QD＝BD＝5．在Rt△BDE中，BD＝5，所以DE＝3，BE＝4．在Rt△PEQ中，∠Q＝∠B，QE＝QD－DE＝5－3＝2，所以PE＝34QE＝32．此时PB＝BE－PE＝342＝52．如图3，在Rt△PEQ中，QE＝QD＋DE＝5＋3＝8，所以PE＝34QE＝6．此时PB＝BE＋PE＝4＋6＝10．图2 图3如图1，平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1, 0)和点B (3, 0)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA ＝EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ ＝∠NEB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山24”，可以体验到，当EA ＝EC 时，点E 在AC 的垂直平分线上．还可以体验到，与∠NEB 相等的∠MEQ 有两个，就是直线AE 与抛物线的两个交点，但是点A 在对称轴的左侧．思路点拨1．已知二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．如果EA ＝EC ，由两点间的距离公式，根据EA 2＝EC 2列整式方程．3．已知∠MEQ ＝∠NEB ，构造两个直角三角形相似，用相似比求解比较简便． 图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1．顶点为P (2,－1)．（2）如图2，由y ＝x 2－4x ＋3，得C (0, 3)．设E (2, m )，已知A (1, 0)．由EA 2＝EC 2，得12＋m 2＝22＋(m －3)2．解得m ＝2．所以点E 的坐标为(2, 2)．（3）如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ．作PH ⊥MN 于H ．设Q (x , x 2－4x ＋3)，已知B (3, 0)、E (2, 2)．由tan ∠HEQ ＝tan ∠FEB ，得=QH BF EH EF ． 所以221(43)22-=-+-x x x ．整理，得x 2－6x ＋5＝0． 解得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．此时Q (5, 8)．图2 图3考点伸展第（3）题求得的x 1＝5，x 2＝1的几何意义是什么呢？由于∠FEB 是确定的，所以∠MEQ 的大小也是确定的，位置有两个．也就是说，经过点E 的直线EQ 与抛物线有两个交点，其中一个交点就是A (1, 0)．显然A 、B 两点关于抛物线的对称轴是对称的．第（2）题求得点E (2, 2)以后，通过计算可以证明，△ACE 是等腰直角三角形．常用的方法有两种，一是勾股定理的逆定理，二是相似比．方法一，由A (1, 0)、C (0, 3)、E (2, 2)，可得AE 2＝5，CE 2＝5，AC 2＝10．所以AC 2＝AE 2＋CE 2．所以△ACE 是直角三角形．方法二，如图2，由2==CG EF EG AF，得∠ECG ＝∠AEF ． 由于∠ECG 与∠CEG 互余，所以∠AEF 与∠CEG 互余．于是得到∠AEC ＝90°．例 2018年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝5，sin∠B＝35，P是线段BC上一点，以P为圆心、P A为半径的圆P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD 相交于点E，设BP＝x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18金山25”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，△APQ 的高是定值，就是梯形的高．还可以体验到，△QED与△QAP相似存在两种情况，每种情况下，△ABP、△ECP、△EDQ和△APQ都是等腰三角形．思路点拨1．过等腰梯形上底的两个顶点作双垂线，把所有的线段长都标记出来．2．△ABP、△ECP和△EDQ两两相似，△APQ是等腰三角形．如果这4个三角形中任何两个相似时，4个三角形都是等腰三角形．图文解析（1）如图2，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C．因为P A＝PQ，所以∠1＝∠2．由AD//BC，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．所以∠3＝∠4．所以△ABP∽△ECP．图2 图3（2）如图3，作AM⊥BC于M，作PN⊥AD于N．在Rt△ABM中，AB＝5，sin∠B＝35，所以AM＝3，BM＝4．所以AN＝MP＝BP－BM＝x－4．由P A＝PQ，PN⊥AQ，得AQ＝2AN＝2(x－4)．所以y＝S△APQ＝12⋅AQ PN＝12(4)42⨯-⨯x＝4x－16．定义域是4＜x＜132．（3）按照点Q的位置分两种情况讨论△QED与△QAP相似．情形1，如图4，点Q在AD上．由于△EDQ∽△ECP∽△ABP，当△EDQ∽△APQ时，△ABP∽△APQ．因为P A＝PQ，所以BP＝BA＝5．情形2，如图5，点Q在AD的延长线上．当△DEQ∽△APQ时，∠EDQ＝∠A．所以DC//AP．所以∠3＝∠C．又因为∠C＝∠B，所以∠3＝∠B．所以AB＝AP．所以点A在BP的垂直平分线上，此时BP＝2BM＝8．图4 图5考点伸展第（2）题求y关于x的函数关系式，事实上，不论点Q在AD上，还是点Q在AD的延长线上，都有AQ＝2AN＝2MP＝2(BP－BM)＝2(x－4)，所以关系式是一样的．这样的话，函数的定义域为4＜x≤13．当x＝132时，如图6所示；当x＝13时，如图7所示．图6 图7在平面直角坐标系中，如果对任意一点(a, b)，规定两种变换：f (a, b)＝(－a,－b)，g (a, b)＝(b,－a)，那么g [ f (1,－2)]＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安17”，拖动点P(a, b)在坐标平面内运动，可以体验到，变换f (a, b)就是作点P(a, b)关于原点的对称点；变换g (a, b)分两步，先作点P(a, b)关于直线y＝x的对称点Q，再作点Q关于x轴的对称点（如图1所示）．答案如图2，由f (a, b)＝(－a,－b)，得f (1,－2)＝(－1, 2)．由g (a, b)＝(b,－a)，得g(－1, 2)＝(2, 1)．所以g [ f (1,－2)]＝g(－1, 2)＝(2, 1)．图1 图2等腰△ABC 中，AB ＝AC ，它的外接圆⊙O 的半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安18”，可以体验到，等腰三角形ABC 与等腰直角三角形OBC 的对称轴是重合的．答案 11．思路如下：如图2，在等腰直角三角形OBC 中，OB ＝OC ＝1，所以BC设BC 的中点为H ，那么OH ⊥BC ，AH ⊥BC ．所以A 、O 、H 三点共线．如图3，在Rt △ABH 中，BH ，AH ＝1cot ∠ABC ＝BH AH 1．如图3，在Rt △ABH 中，BH ＝2，AH ＝12-，所以cot ∠ABC ＝BH AH 1．图2 图3 图4如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(8, 0)和点C(9,－3)，抛物线y＝ax2－8ax＋c（a、c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A，对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18静安24”，可以体验到，四边形ABCM是梯形．还可以体验到，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么△ADE∽△CBF．思路点拨1．第（2）题先根据两点间的距离公式列方程求得点M的坐标，再判断四边形ABCM 的形状，然后求面积．2．第（3）题中，A、B、C三点是确定的，用一个字母n表示点D的坐标，就可以列方程了．列方程的依据可以根据腰相等，也可以根据对角线相等．图文解析（1）由y＝ax2－8ax＋c，可知抛物线的对称轴是直线x＝4．点B(8, 0)关于直线x＝4的对应点是A(0, 0)．设抛物线的解析式为y＝ax(x－8)，代入C(9,－3)，得－3＝9a．解得13=-a．所以2118(8)333=--=-+y x x x x．（2）设M(4, m)．由MA2＝MC2，得42＋m2＝52＋(m＋3)2．解得m＝－3．所以M(4,－3)，MC//x轴，MC＝5．所以四边形ABCM是梯形，高为3．所以S梯形ABCM＝139(5+8)322⨯⨯=．图2 图3 （3）作等腰梯形ABCD的外接矩形AEHF．由B(8, 0)、C(9,－3)，可得tan∠CBF＝3．由∠ADE＝∠DAB＝∠CBF，得tan∠ADE＝3．设DE ＝n ，AE ＝3n ，那么D (n ,－3n )．由DC ＝AB ，得DC 2＝AB 2．所以(n －9)2＋(3n －3)2＝82．整理，得5n 2－18n ＋13＝0．解得n ＝1，或n ＝135． 当n ＝1时，D(1,－3)．此时DC //x 轴//AB ，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意． 当n ＝135时，D 1339(,)55-．此时ABCD 是等腰梯形． 考点伸展第（3）题解等腰梯形，设好了点D 的坐标为(n ,－3n )以后，有4种列方程的方法． 上面第一种方法，由腰相等DC ＝AB ，根据DC 2＝AB 2列方程．这个方程是一元二次方程，一个解是等腰梯形，另一个解是平行四边形．也就是说，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形．这是因为以C 为圆心、AB 为半径的圆与直线AD 有两个交点．第二种方法，由对角线相等DB ＝AC ，根据DB 2＝AC 2列方程．这个方程的两个解，也是等腰梯形和平行四边形．这是因为以B 为圆心、AC 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图4所示）．第三种方法，设BC 的中点为P ，那么P 173(,)22-，根据PD 2＝P A 2列方程．这个方程的两个解，一个是点A ，一个是点D ．这是因为以P 为圆心、P A 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图5所示）．第四种解法，设AD 的中点为Q ，那么Q 3(,)22-n n ，根据QB 2＝QC 2列方程．这个方程是一元一次方程，有一个解．这是因为AD 的垂直平分线与BC 有且只有一个交点（如图6所示）．图4 图5 图6第五种解法，设D (x , y )．由2222,,⎧=⎪⎨=⎪⎩DC AB DB AC 列方程组2222222(9)(3)8,(8)93，⎧-++=⎪⎨-+=+⎪⎩x y x y 一个解是平行四边形ABDC ，一个解是等腰梯形ABCD ．例 2018年上海市静安区中考模拟第25题如图1，平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝9，cos ∠ABC ＝13，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ，交线段P A 于点E ．设BP ＝x ．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18静安25”，拖动点P 在由B 向A 运动，可以体验到，⊙P 与⊙O 保持外切，直角三角形OPH 的直角边OH 是定值，斜边OP 和直角边PH 随PB 的增大而减小．思路点拨1．通过计算，可以发现平行四边形ABCD 中，△ABC 是等腰三角形．2．第（2）题和第（3）题的一般策略是，构造圆心距OP 为斜边的直角三角形． 图文解析（1）如图2，作AF ⊥BC 于F ．在Rt △ABF 中，AB ＝6，cos ∠ABF ＝BF AB ＝13，所以BF ＝2．所以AF ＝．在Rt △ACF 中，CF ＝BC －BF ＝9－2＝7，所以AC 9．图2 图3（2）如图3，作CG ⊥AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝12CG ． 在Rt △BCG 中，BC ＝9，cos ∠GBC ＝BG BC ＝13，所以BG ＝3．所以CG ＝AG ＝3．所以OH ＝12CG ＝AH ＝12AG ＝32．。