P
cL232
由能量守恒原理 d U V P 0
dt
化简得
m1L12
m2L22
m3 L3
L4
2
cL23
m2gL2
k L3
L4 2
0
注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即
x
P 0 cxdx
2
动能 V 1 J2 1 mL2 2
2
23
由能量守恒原理 d (U V ) 0
θ
dt
kL2 mg L sin mL2 0
2
2
3
化简得 m mg k 0
3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤
力法
1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；
2）分析系统受到的所有力 Fi（或力矩Ti）；
由题意，fn 10 Hz, xmax 4.57 m/s
所以，圆频率 n 2 fn 20
振幅 A xmax 0.072734 m
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
xmax n2 A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？
m3gL3 L4 kL3 L4 m1gL1
假设L2杆顺时针旋转θ角
由动量矩定理 J T
m1L12 m2L22 m3L3 L4 2 m1gL1 m2gL2 m3gL3 L4 kL3 L4 kL3 L4 2 cL23
化简得m1L12
m2 L22
m3
L3
L4
2
cL23
-13
0
0.5
1
1.5
2
2－2 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的 微分方程。
解：（力法）假设杆顺时针偏转了θ角， 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的 力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边 弹簧弹力之和 F 2k L sin
dt
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
解：（力法）静平衡时有：
mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r
F
F’
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆
盘沿逆时针方向转过x/r角
F
质量m mx mg F
k x
圆盘M
Mr2 x Fr k(x )r
mg
2r
联立得
M 2
mx kx 0
考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0， 当弹簧相对于平衡位置伸长x时
势能
U 1 kx 2 1 k2 mgx
2
2
1 kx2 kx mgx 1 kx2
2
2
注意：重物和弹簧满足 静平衡关系 mg k
可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧 发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能 x 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。
《机械振动学》习题解答（一）
2013-04-19
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。
解：简谐振动的位移 x(t) Asin(nt )
速度 x(t) n Acos(nt ) 速度幅值 xmax n A
加速度 x(t) n2 Asin(nt ) 加速度幅值 xmax n2 A
解：对物体受力分析
mg N mx
N 物体
要使物体保持与台面接触，必须 台面 N ≥ 0 ，即
mg mx
mg
x
所以 又由于 所以
xmax g
xmax n2 A A g / n2
1－7 计算两简谐运动 x1 X cost 和 x2 X cos t
之和。其中 ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍 频。
X1
X
2
2X2
cosቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
t
cos
t
可变振幅
A(t)
X1
X2
2X
2
cos
2
t
可变振幅
拍振的振幅为
Amax
Amin
2X2（假设X2较小），拍频为
f
4
例：当=80， =4，X1 8，X2 5时，
x1 x2 3 10cos(2 t)cos(80 t)
13
0
振幅为13
拍频为1Hz
3 10cos(2 t)
-10
10cos(2 t)
0.5s（不是1s）
0
0.5
1
1.5
2
补充 若两简谐运动振幅和频率都不同：
x x1 x2 X1 cost X 2 cos( )t
X1 cost X 2 cost X 2 cost X 2 cos( )t
X1
X
2
cost
2
X2
cos
2
t
cos t
m2gL2
k
L3
L4 2
0
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
势能 动能
U V
1 2 1 2
k[(L3 L4 ) ]2 m2gL2
m1(L1
)2
1 2
m2
(L2
)2
(1 1
2
cos )
m3[(L3
m1和m3参与静平衡， 重力势能抵消了弹 簧静变形的势能。 L4 ) ]2
耗散能
d dt
解：
x1
x2
2X
cos(
2
t) cos(2
2
t)
当ε<< ω时，
x1 x2
2X cos( t) cost
2
可变振幅
拍振的振幅为2X，拍频为 f
（不是
）课本p.6
2
4
例：当=80， =4，X 5时，x1 x2 10 cos(2 t) cos(80 t)
10
振幅为10
拍频为2Hz
0
拍的周期为
2
由动量矩定理J Ti
得
mL2
F
L
i
cos
mg
L sin
3
2
2
又由于 sin , cos 1
上式可化简为
m mg k 0
3 2L 2
θF mg
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时
势能 U 2 1 k L sin 2 mg L 1 cos
2 2
3）由牛顿第二定律 Fi mx（或动量矩定理Ti J ）
i
i
列方程。
能量法
1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；
2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势
能3）12由kx2能）量，守动恒能原V=理12 mdx（2(U或V12JP)2） 0，列耗方散程能。P：
dP dt
cx2
动能
V
1 2
Mr 2 2
x r
2
1 2
mx 2
由能量守恒原理 d (U V ) 0
dt
化简得
M mx kx 0 2
M, r
m
k
2－6 图示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质 量忽略）
解：（力法）静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即m3 的力矩大于m1的力矩）