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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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b) 柔度矩阵的影响系数法 KX 0 ，称为作用力方程； MX 对于多自由度的振动系统， X 0 称为位移方程，其中，F K 1 称为柔度矩阵。 FM X 在某些问题中求刚度矩阵比较困难，但柔度矩阵比较容易求得。 这时可以先求得柔度矩阵，利用柔度法建立系统的微分方程。 柔度矩阵F中的系数 ij 称为柔度响应系数，其定义为：在第j 个坐标上所需施加单位力作用时，在第i 个坐标上所引起的位 移。
W
Q q
i i 1
n
i
式中，Qi为非势力广义力。此时拉格朗日方程推广到非保守系 统，可表示为
d dt ( T i q ) T i q U qi Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
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d dt ( T i q ) T i q Q i 0 ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
式中，T为系统总动能； qi 为系统广义坐标； Qi 为对应于广义 坐标qi的广义力。
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根据Qi的不同表达形式，拉格朗日方程存在以下几种表达方式 1）系统为保守系统，即系统作用的主动力仅为势力时，广义 力可以表达为
C X Biblioteka KX p ( t ) MX 1
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2）影响系数法 如果在选定运动坐标后，能够设法求得与坐标相对应的质 量矩阵和刚度矩阵，就可以按照微分方程的一般形式写出振动 微分方程。为此，引入利用影响系数法求矩阵的方法。 a) 刚度矩阵的影响系数法 对于n自由度的振动系统，刚度矩阵K为nxn矩阵，具有nxn 个元素 k ij ，这些元素称为刚度影响系数。刚度影响系数 k ij 的 定义为使系统的第 j个坐标产生单位位移，而其他坐标位移为 零时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小；即当 x j 1 ， x r 0 ( r 1, 2 , 3 n ; r j ) 时，在第 i 个坐标上所需施加的作用 力的大小。
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3）拉格朗日法 拉格朗日法从能量的观点建立系统的动能T、势能U和功W 之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。它是一种 普遍、简单和统一的方法，适用于简单或复杂系统的分析。其 处理的方法为：取n个自由度系统的n个互为独立地变 量,q1,q2…qn为广义坐标，则拉格朗日方程的形式为
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四、多自由度系统的振动
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多自由度振动系统是二自由度系统的扩展，二自由度系统 是多自由度系统的特例，实际振动问题大都属于多自由度振 动系统。 由上一章可以看出，自由度由1 增加到 2，会引起系统行为 发生质变，带来一系列新的物理概念，即会引起性质上的一 些变化；而二自由度和多自由度系统的区别，主要体现在数 量上和系统的复杂程度上。
诸如：单自由度无阻尼系统和二自由度无阻尼系统的本质区 别：单自由度无阻尼系统的自由振动与固有振动属同一种振 动，在任意初始条件下总是简谐的；而二自由度无阻尼系统 的自由振动一般是两种不同频率固有振动的线性组合，未必 是简谐振动，甚至一般是非周期振动。
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1）直接法 所谓直接法就是直接应用动力学的基本定律或定理，例如利 用牛顿第二定律或达朗贝尔原理，来建立系统振动微分方程 的方法。以前建立单自由度和二自由度振动系统的微分方程， 就是采用的这种方法。该方法特点：分析比较直观、简便， 适用于比较简单的系统。 基本步骤： a) 对各质量取隔离体，进行受力分析； b) 根据牛顿第二定律，建立振动微分方程。
Qi U qi
式中，U为系统的势能。则保守系统的拉格朗日方程为
d dt ( T i q ) T i q U qi 0 ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
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2）当系统除了势力作用以外，还存在其他非势力的作用，则 将这部分非势力的虚功记为
引领专业投资 引领专业投资
机械振动学
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课程内容
一、概论
二、单自由度系统的振动 三、二自由度系统的振动 四、多自由度系统的振动
五、MATLAB在汽车振动分析中的应用 六、汽车振动试验及测试
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2）令 x 2 1, x 1 x 3 0 ，则
k 22 k 2 x 2 k 3 x 2 k 2 k 3 ; k 23 k 32 k 3 x 2 k 3
3）令 x 3 1, x 1 x 2 0，则
1、MATLAB软件及其特点 了解软件的特点 2、MATLAB语言程序设计 熟悉MATLAB语言程序设计的特点、方法和技巧，能够 数量编写计算程序。 MATLAB有很强的数值矩阵处理能力，它的基本元素是 矩阵。列向量被当作只有一列的矩阵；行向量被当作只有一 行的矩阵；标量被认为是一行一列的矩阵。
矩阵的定义；矩阵的运算；MATLAB的函数；MATLAB的控 制语句；M文件的编写（.m为扩展名）； MATLAB的图形命 令；Simulink的应用。
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3、MATLAB在汽车振动分析中的应用实例
单 自 由 度 简 谐 激 振 问 题
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2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
以上三式，可用矩阵形式表示为
m1 0 0 0 m2 0 0 x1 c 1 c 2 0 x c 2 2 m3 x3 0 c2 c2 c3 c3 1 k 1 k 2 0 x k2 c3 x 2 3 c3 x 0 k2 k2 k3 k3 0 x1 p 1 ( t ) k 3 x 2 p 2 (t ) k3 x3 p 3 (t )
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注意：对弹性系统，刚度矩阵总是存在的，而柔度矩阵不一定存在。 当系统自由度中包括刚体振型时，就无法确定柔度系数。从数学上 讲，系统的刚度矩阵为奇异时，不存在逆矩阵，系统为半正定的。
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k 33 k 3 x 3 k 3
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所以，系统的刚度矩阵为：
k1 k 2 K k2 0 k2 k2 k3 k3 0 k3 k3
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式中，即为有阻尼振动系统的自由振动微分方程，是利用能量 （动能、势能和能量耗散函数）以及其他外部广义力表达的完 全的拉格朗日方程
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利用拉格朗日法，对下图三自由度振动系统建立微分方程。。