2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数 学 (文科) 全解全析一．填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．方程9131=-x 的解是 ．【答案】1-=x【解析】121331219x x x --==⇒-=-⇒=-2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．【答案】10x x x+≠（） 【解析】由11(0)1y y x y x y+=⇒=≠⇒-()110x fx x x-+=≠（） 3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 【答案】4arctan π- 【解析】tan 4,(,)2πθθπθ=-∴∈⇒=4arctan π-.。
4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期=T ．【答案】π【解析】π1sec cos (sin )tan 2cos y x x x x T xπ⎛⎫=+=-=-⇒= ⎪⎝⎭ 。
5．以双曲线15422=-yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是． 【答案】212y x =【解析】双曲线22145xy-=的中心为O （0,0），该双曲线的右焦点为F （3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212y x =。
6．若向量a b ，的夹角为60，1a b == ，则()a a b -= ．1CCB1B1AA【答案】21【解析】()2211cos 60122a ab a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。
7．如图，在直三棱柱111C B A A B C -中， 90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．【答案】66arccos【解析】11,A C AC ∴ 异面直线B A 1与AC所成角为11BA C ∠，易求1A B =，1111111cos cos66A C BA C BA C arc A B∴∠===⇒∠=。
8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ．【答案】3【解析】因为A 完成后，C 才可以开工，C 完成后，D 才可以开工，完成A 、C 、D 需用时间依次为24x ，，天，且A B ，可以同时开工，该工程总时数为9天，max max 2493x x ∴++=⇒=。
9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．【答案】3.0【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是21233530.310C C P C ===。
10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+；③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④【解析】 对于①：解方程10a a+=得 a =± i ，所以非零复数 a = ± i 使得10a a+=，①A B不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|=|i |，则a b = ↵a b =±，所以③不成立；④显然成立。
则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ． 【答案】π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，【解析】如图，当12O O 与外切于点C 时，S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形面积，2m ax 1212(1)242S ππ∴=⨯-⨯⨯⨯=-，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当C 到直线l 的距离0,0,(0,2]2d S S π→→∴∈-时。
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==， 【答案】A【解析】 因为2+ a i ，b +3i （ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以2+a i 与b +3i 互为共轭复数，则 a =－3，b=2。
选A 。
13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y xＣ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x【答案】C【解析】圆2222210(1)2x y x x y +--=⇒-+=，圆心（1，0），半径，关于直线032=+-y x 对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线段的中点在直线032=+-y x 上，C 中圆2)2()3(22=-++y x 的圆心为（－3，2），验证适合，故选C 。
14．数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在【答案】B【解析】221lim limlim1221n n n n na n nn→∞→∞→∞===--，选B 。
15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立 【答案】D【解析】 对A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若1)1(<f 成立，则不一定100)10(<f 成立；对B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若4)2(<f 成立，则(1)1f <成立，不能得出：．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立；对C ，当k=1或2时，不一定有()2f k k ≥成立；对D ，()42516,f ≥≥∴ 对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
故选D 。
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．PBCDO16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为 60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．【解析】作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO，2=AB ，112333ABC D V PO S ∴==⨯=17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．【解析】由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为PBCAD%36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）1212)1(222->----+x x x xx ，0122>--x x，0)1(<-x x ．∴ 原不等式的解为10<<x ．（2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f xx x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f ff ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；1 （3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，．【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861． （3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150(50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯ 75002299232+-=n n综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+by ax (0)x ≥与半椭圆12222=+cx by (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx by(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．【解析】（1）((012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴===，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处． （3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x ab+=≥和半椭圆22221(0)y x x bc+=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x ab+=≥上的情形即可．2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c-=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到，此时P 的横坐标是222)(cc a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。