2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学全解全析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1．复数43i1+2i+的实部是（）A．2-B．2C．3 D．4【答案】:B【分析】：将原式(43)(12)25(12)(12)i iii i+-=-+-，所以复数的实部为2。

2．已知集合11{11}|242xM N x x+⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z，，，，则M N=I（）A．{11}-，B．{0}C．{1}-D．{10}-，【答案】:C【分析】：求{}1124,1,02xN x x Z+⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭。

3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】D【分析】：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。

4．要得到函数siny x=的图象，只需将函数cosy xπ⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移π6个单位【答案】A【分析】：本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。

注意题中给出的函数不同名，而cos cosy x xππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪33⎝⎭⎝⎭sin[()]sin()2x xπππ=--=+36，故应选A。

5．已知向量(1)(1)n n==-，，，a b，若2-a b与b垂直，则=a（）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

6．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x= D ．()tan f x x =【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.7．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，【答案】C 【分析】注意两点：（18．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145， 【答案】 A 【分析】：从频率分布直方图上可以看出1(0.060.04)0.9x =-+=，50(0.360.34)35y =⨯+=.0.09．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， A 是抛物线上的一点，FA u u u r 与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r为（ ） A ．214pB．2C．6pD ．1336【答案】B 【分析】：（利用圆锥曲线的第二定义） 过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =， 则2FA m =，2p m m +=，m p =。

.2OA p ∴==10．阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的 变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500B ．2550，2550C ．2500，2500D ．2500，2550【答案】A.【试题分析】：依据框图可得1009896...22550S =++++=， 999795...12500T =++++=。

11．设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【答案】B.【试题分析】令32()2xg x x -=-，可求得：(0)0,(1)0,(2)0,(3)0,g g g g <<>>(4)0g >。

易知函数()g x 的零点所在区间为(12)，。

12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定 平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件nC 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ） A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【答案】D 【试题分析】事件nC 的总事件数为6。

只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。

当n=2时，落在直线2x y +=上的点为（1，1）； 当n=3时，落在直线3x y +=上的点为（1,2）、（2,1）； 当n=4时，落在直线4x y +=上的点为（1,3）、（2,2）； 当n=5时，落在直线5x y +=上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件n C的概率最大为13。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上． 13．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f =．【答案】12007【分析】：1222121123121(((2007)))((2007))((2007))((2007))f f f f f f --=== 12007-=。

14．函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n +的最小值为 ．【答案】:4【分析】：函数1(01)xy a a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ， 1110m n ⋅+⋅-=，1m n +=，,0m n >，（方法一）：2m n +≥⇒≥，11224m n +≥≥⋅=.（方法二）：1111()()22 4.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=15．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【答案】5m ≤-【分析】：构造函数：2()4,f x x mx =++[12]x ∈，。

由于当(12)x ∈，时， 不等式240x mx ++<恒成立。

则(1)0,(2)0f f ≤≤，即140,4240m m ++≤ ++≤。

解得：5m ≤-。

16．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的 半径最小的圆的标准方程是 ． 【答案】:. 22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为6625 2.2d +-==所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC △中，角AB C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ；（2）若52CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan 3737cos CC C = ∴=Q ，又22sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±．tan 0C >Q ，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．（2）52CB CA ⋅=u u u r u u u r Q ，5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b +=Q22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．18．（本小题满分12分） 设{}n a 是公比大于1的等比数列，nS 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和nT ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==L ，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++L 1()(3ln 23ln 2)3(1)ln 2.222n n b b n n n n +++===19．（本小题满分12分） 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=， 即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元） 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB===，AD DC AB DC ⊥，∥．（1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置， 使1D E ∥平面1A BD，并说明理由．（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，连结1C D，1DC DD =Q ，∴四边形11DCC D 是正方形．11DC D C∴⊥．BCD A1A1D1C1B又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D=⊥，⊥，AD ∴⊥平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ，1AD D C∴⊥． 1AD DC ⊂Q ，平面1ADC ，且AD DC D =⊥，1D C ∴⊥平面1ADC ， 又1AC ⊂平面1ADC ，1D C AC ∴1⊥．（2）连结1AD ，连结AE ，设11AD A D M=I ，BD AE N =I ，连结MN ，Q 平面1AD E I 平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD，须使1MN D E ∥，又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点．又易知ABN EDN △≌△，AB DE ∴=．即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD．21．（本小题满分12分）设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠． BCDA1A1D1C1BMEBCDA1A1D1C1B证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，． ()f x '222b ax b ax x x +=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减．所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x0⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()f x ' -0 + ()f x]极小值Z从上表可看出，函数()f x有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．22．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y +=（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，11 / 11 联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---g ，1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++，2271640m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，。