九年级上册数学第三章证明（三）教案・・・ZABD = ZCDBZA D B=ZC B D.•.AB//CD, B C//A D・・・四边形A B C D是平行四边形。
同理我们也可以连接A C來证明。
做一做证明：如图屮的四边形MNOP是平行四边形。
学生先独立证明，再与同桌交流,上讲台演示。
证明:(x-3) 2—(X—5) 2=42 x=8/.MN=5=P0.•.PM二3 二ON・・・四边形MNOP是平行四边形.三、随堂练习课木随堂练习1、2、3例如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, EF过点0且与AD、BC分别相交于E、Fo你认为0E与OF有怎样的关系？请证明你的结论。
猜想：平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点0即为对称中心。
由于DA和BC是对应线段,而EF过对称中心0, E、F分别为EF 与DA、BC的交点，所以E、F关于点0对称，所以0E二0F。
证明思路：由0E、0F分别在AAOE、AC0F中，可证△ AOE^ACOFo 证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，OA = ()C(平行四边形的对角线4.相平分)川・•・厶EAO二厶FCO.又.・乙AOE二乙COF,・•・ ZUOEMCOF ( ASA)..・.OE = OF.举一反三：对于任意一个中心对称图形，经过对称中心的直线被该图形所截得的线段恰好以对称中心为中点。
思维误区如图，平形四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, 0E垂直于AB, 0E垂直于CD,垂足分别是E, F,求证：OE=OF«在这题中，容易误认为Z3和Z4为对顶角，进而得到Z3=Z4O必须注意的是，OE、0F是从0点分别向AB、CD作的两条直线，OE、OF是否在同一直线上需要加以证明。
证明I四边形ABCD是平行四边形，.*.OB=OD, AB〃CD, AZl=Z2o乂TOE丄AB, OF丄CD, .•.Z0FD=Z0EB=90° ,AAOFD^AOEB,・・・OE二OF。
四、课堂总结涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方法。
从边看：有三种判定方法：两组对边分别相等；两组对边分别平行；一组对边平行且相等。
从角看：两组对角分别相等。
从对角线看：对角线互相平分。
五、布置作业课本习题3.2 1、2教学反思:课题 3.2特殊平行四边形（一）课型新授课教7口标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。
3.体会证明过程屮所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
教学重点掌握矩形的性质和判定以及证明方法。
教学难点运用综合法证明矩形性质和判定。
教学方法讲练结合法进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必耍性和作用，体会归纳等数学思想方法。
教学内容及过程备注一、回顾交流1 .你了解哪些特殊的平行四边形？2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系?3.能用一张图来表示它们之间的关系吗? 平行四边形与短形、菱形、正方形的关系。
二、探究新知1.议一议：前面我们己探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.那你能证明它们吗？学生先独立证明两个定理，再进行交流。
已知：四边形ABCD是矩形•求证：ZA=ZB=ZC=ZD=90°已知：四边形ABCD是矩形.求证：4 _________________________ °AC=DB证明：（略）B ------------------------- C定理矩形的四个角都是直角定理矩形的对角线相等2.如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E,那么BE是RtAABC屮一条怎样的特殊线段？它为AC有什么大小关系？为什么？（学生分四人小组进行合作交流，相互补充）CD如图,已知BE 是RtAABC 的斜边AC 上 的屮线. 求证:BE=-AC.2方法一：过A 点作BC 的平行线，BE 的延 长线交于点D,连接CD,然后证明ABCE 和ADAE全等，得到BOAD,进而证明四边形ABCD 是矩形，再利用“矩形的对 角线相等且互相平分”即可得到。
方法二：在BE 的延长线上取线段ED,使ED=BE,连接AD 、DC,然 后证明四边形ABCD 是矩形，再利用“矩形的对角线相等且互相平分” 即可得到。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 三、范例学习角都是直角，对角线相等。
六、布置作业课木习题3. 41、2、3教学反思:课题 3・2特殊平行四边形（二） 课型 新授课・・・ZDAB 二90。
（矩形的四个角都是直 角）・•・ BD=2AB=2X2. 5=5 （cm ）拓展：例1述可以怎么证？ 四、 随堂练习 课木随堂练习 五、 课堂总结矩形具有平行四边形的所有性质，还貝-有自己独有的性质：四个与同伴交流。
1、2 例1,如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,已知ZAOD = 120° , AB=2.5cm,求矩形对角线的长。
・・・四边形ABCD 是矩形・・・ AC=BD,且 0A=0O 丄 AC, OB=OD=1BD2 2（矩形的対角线相等且互相平分）・・・0A 二0D ・・・ZA0D=120o・•・ Z0DA=Z0AD=（180° -120° ） H-2=30° CD菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.2.例2,如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm,求(1).对角线AC的长度。
(2).菱形ABCD的面积。
分析：(1)要求对角线AC的长度，由已知：“四边形ABCD是菱形”，可知：只需求出0A的长即可, 而0A又是RtAAOB的边.因而应用勾股定理即可求解. (2)从图形中可知：菱形ABCD被对角线BD分成两个全等的等腰三角形，所以要求菱形ABCD的面积，只需求H1AABD或ABDC 的面积即可.解：(DY四边形ABCD是菱形,・・・ZA0D = 90。
,(菱形的对角线互相垂直) 0D=- BD=-X10=5(cm).(菱形的对角线互相平分)2 2A0A= ^AD2-OD2 = 7132 -52=12 (cm).・・・AC=20A=2X 12=24 (cm)・(菱形的对角线互相平分)⑵菱形ABCD的面积=AABD的面积+ACBD的面积=2X AABD 的面积=2X-BDX0A=2X- X 10X 12=120(cm2).2 2 同学们再来看例题的图形，你还会发现什么呢？菱形ABCD被对角线AC、BD分成四个全等的直角三角形.这四个全等直角三角形的斜边是菱形的边，两条直角边乂是菱形的対角线的一半.每个肓角三角形的底和高分别是两条对角线的一半，而菱形的血积正好是这四个直角三角形的面积的和，所以由此推出：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.即菱形ABCD的面积=4XAA0B 的面积=4X - XBOX - AC =- X BOX AC.2 2 2同学们总结得真好.如果菱形的两条对角线氏分別是a、b,则菱形的面积为S=-a*b.23.菱形的判别方法：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四条边都相等的四边形是菱形。
选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思教学口标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明止方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
3.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思、想方法。
教学重点掌握正方形的性质和判定以及证明方法。
教学难点特殊四边形——矩形、菱形、止方形的性质定理和判定定理的灵活应丿IJ.教学方法讲练结合法引导学住体会证明过程屮所运用的由一般到特殊再到--般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。
教学内容及过程备注一、回顾交流1.正方形有哪些性质？判定一个四边形是正方形有哪些方法?F C F C2.如图，在AABC中,EF为A ABC的中位线,①若ZBEF二30 ,则ZA= ______ .②若EF=8cm,则AC二_____ .在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系? EH和FG呢? 四边形EFGH的形状有什么特征?通过问题串，复习三角形中位线性质定理，形各边的中点可以得到一个平行四边形”。
O二、探究新知依次连接任意以边形各边的中点可以得到一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边的屮点能够得到一个怎样的图形呢？你能证明所得出的结论吗？证明：・・・四边形ABCD是正方形.AZA=ZB=ZC=ZD=90° ,AB=BC=CD=DA.探索新命题“依次连接任意四边又VA H B K C I. Di分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
.\AA I=BA=BB I=B I C=CC I=C I D=DD I=D I A..••△AD』］竺△BAiB】竺ZXCBiG 竺△DGD-AiBi=BiCi=C】Di = DiAi. VZA=ZB=90° ,AAi=ADi, AiB—BBi, ・・・ZAAiD尸ZBA：B L45°.・・・ZDAB】=90° .・•・四边形AiBiCiDi是正方形.先证明了四边形A.B.C.D.的四条边相等，即是菱形，然后乂证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A.B.C.D.是正方形.因为人、B堤边AB、DC的中点,所以，若连结对角线AC,贝lj A】B】是AABC的中位线，同理可知CD是AADC的中位线，同样,连结对角线BD,也可知ADMA ABD的中位线，BG是ABDC的中位线，这样山中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知Ab、BQ、CD、DA,是相等的，然后再证，有一个角是90°,这样也可以证明：四边形ARCD是正方形.三、合作交流1.议一议(1)•依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。
(2).依次连接平行四边形四边屮点呢？(3).依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？平行四边形的中点四边形是平行四边形;矩形的中点四边形是菱形; 菱形的中点四边形是矩形;正方形的中点四边形是正方形;等腰梯形的中点四边形是菱形;直角梯形的中点四边形是平行四边形;梯形的中点四边形是平行四边形。
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。