力学2003年理综（全国卷）34．（22分）一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。

现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。

稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。

每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。

已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。

这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。

求电动机的平均抽出功率P。

参考解答：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有s＝1/2at2①v0＝at ②在这段时间内，传送带运动的路程为s0＝v0t ③由以上可得s0＝2s ④用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为A＝fs＝1/2mv02⑤传送带克服小箱对它的摩擦力做功A0＝fs0＝2·1/2mv02⑥两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量Q＝1/2mv02⑦可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为W＝P T ⑧此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即W＝1/2Nmv02＋Nmgh＋NQ ⑨已知相邻两小箱的距离为L，所以v0T＝NL ⑩联立⑦⑧⑨⑩，得P ＝T Nm [222T L N ＋gh]2004年全国理综25．（20分）柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。

在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。

现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m ，锤在桩帽以上高度为h 处（如图1）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M （包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。

同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。

随后，桩在泥土中向下移动一距离l 。

已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩幅之间的距离也为h （如图2）。

已知m ＝1.0×103kg ，M ＝2.0×103kg ，h ＝2.0m ，l ＝0.20m ，重力加速度g ＝10m/s 2，混合物的质量不计。

设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F 是恒力，求此力的大小。

25．锤自由下落，碰桩前速度v 1向下，gh v 21= ①碰后，已知锤上升高度为（h －l ），故刚碰后向上的速度为)(22l h g v -= ②设碰后桩的速度为V ，方向向下，由动量守恒，21mv MV mv -= ③ 桩下降的过程中，根据功能关系，Fl Mgl MV =+221④ 由①、②、③、④式得])(22)[(l h h l h Mml mg Mg F -+-+= ⑤ 代入数值，得5101.2⨯=F N ⑥2005年理综（四川、贵州、云南、陕西、甘肃）25.（20分）如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。

求男演员落地点C 与O 点的水平距离s 。

已知男演员质量m 1和女演员质量m 2之比m 1/m 2＝2秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C 点低5R 。

解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v 0，由机械能守恒定律，22121)(21)(v m m gR m m +=+ 设刚分离时男演员速度的大小为v 1，方向与v 0相同；女演员速度的大小为v 2，方向与v 0相反，由动量守恒，2211021)(v m v m v m m -=+分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C 点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律，2214gt R =t v x 1=，根据题给条件，女演员刚好回A 点，由机械能守恒定律，222221v m gR m =，已知m 1＝2m 2，由以上各式可得x ＝8R2006年全国理综（天津卷）25．（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。

天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。

引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期。

（1）可见得A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m /的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2。

试求m /的（用m 1、m 2表示）；（2）求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m I 的两倍，它将有可能成为黑洞。

若可见星A 的速率v ＝2.7m/s ，运行周期T ＝4.7π×104s ，质量m 1＝6m I ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G ＝6.67×1011－N ·m/kg 2，m I ＝2.0×1030kg ）解析（1）设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。

由牛顿运动运动定律，有F A ＝m 1ω2r 1 F B ＝m 2ω2r 2 F A ＝F B设A 、B 之间的距离为r ，又r ＝r 1＋r 2，由上述各式得 r ＝1212m m r m ① 由万有引力定律，有F A ＝G122m m r将①代入得F A ＝G 3122212()m m m m r+ 令F A ＝G 121/m m r比较可得3212()/=m m m m + ②（2）由牛顿第二定律，有/211211m m v G m r r = ③又可见星A 的轨道半径r 1＝2vTπ④ 由②③④式可得332212()2m v Tm m Gπ=+ （3）将m 1＝6m I 代入⑤式，得33222(6)2I m v Tm m Gπ=+ ⑤ 代入数据得3222 3.5(6)I I m m m m =+ ⑥设m 2＝nm I ，（n ＞0），将其代入⑥式，得32222 3.56(6)(1)I I I m nm m m m n==++ ⑦可见，3222(6)I m m m +的值随n 的增大而增大，试令n =2，得20.125 3.56(1)I I I n m m m n=<+ ⑧若使⑦式成立，则n 必须大于2，即暗星B 的质量m 2必须大于2m I ，由此得出结论：暗星B 有可能是黑洞。

2006年全国理综（重庆卷）25.(20分)（请在答题卡上作答）如题25图，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。

小球A 、B 质量分别为m 、βm （β为待定系数）。

A 球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为R 41,碰撞中无机械能损失。

重力加速度为g 。

试求： （1）待定系数β;（2）第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速度和B 球对轨道的压力; （3）小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度。

解析：（1）由mgR ＝4mgR +4mgRβ得β＝3（2）设A 、B 碰撞后的速度分别为v 1、v 2，则2112mv =4mgR 2212mv β=4mgR β 设向右为正、向左为负，解得 v 1＝12gR ，方向向左 v 2＝12gR ，方向向右 设轨道对B 球的支持力为N ，B 球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为负。

则N －βmg ＝22v m Rβ题25图N /＝－N ＝－4.5mg ，方向竖直向下（3）设A 、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V 1、V 2，则121222121122mv mv mV mV mgR mV mV βββ--=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：V 1＝－2gR ，V 2＝0（另一组：V 1＝－v 1，V 2＝－v 2，不合题意，舍去） 由此可得：当n 为奇数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同当n 为偶数时，小球A 、B 在第n 次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同2008年（四川卷）25．（20分）一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h 0＝1m ，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。

在斜面顶端自由释放一质量m ＝0.09kg 的小物块（视为质点）。

小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。

当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。

重力加速度g ＝10 m/s 2。

在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？25．（20分）解法一：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v 。

由功能关系得θθμsin cos 212h mg mv mgh +=① 以沿斜面向上为动量的正方向。

按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量)(v m mv I --= ② 设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h ’，则θθμsin cos 212h mg h mg mv '+'= ③ 同理，有θθμsin cos 212h mg v m h mg '+'=' ④ )(v m v m I '--'=' ⑤式中，v ’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I ’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。

由①②③④⑤式得kI I =' ⑥式中 μθμθ+-=tan tan k ⑦由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为 )cot 1(2201θμ-=gh m I ⑧ 总冲量为)1(3214321k k k I I I I I I +++=+++= ⑨ 由 )11112kk k k k nn --=⋯+++- ⑩ 得 )cot 1(221104θμ---=gh m kk I ⑾代入数据得 )63(43.0+=I N ·s ⑿解法二：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a ，依牛顿第二定律得ma mg mg =-θμθcos sin ①设小物块与挡板碰撞前的速度为v ，则 θsin 22hav = ② 以沿斜面向上为动量的正方向。