第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

9. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数， 则 =>)2004(X P ( D ) (A) )2004(2F -; (B)1)2004(2-F ;(C))2004(21F -; (D))]2004(1[2F -. 10. 每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复试验，直到第十次试验才取得4次成功的概率为（ B ）64410)1(p p C A -、 6439)1(p p C B -、 5449)1(p p C C -、 6339)1(p p C D -、 11.设随机变量X 的概率密度为f(x)=12e -|X|,(-∞＜x ＜+∞),则其分布函数 F （x ）是 （ B ）（A ）F （x ）=1,021,0xe x x ⎧<⎪⎨⎪≥⎩ （B ）F （x ）=1,0211,02xx e x e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩（C）F（x）=11,021,0xe xx-⎧-<⎪⎨⎪≥⎩（D）F（x）=1,0211,0121,0xxe xe xx-⎧<⎪⎪⎪-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩二、填空题1. 设随机变量X的概率密度为2(2)4(),xf x x+-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N=+()0>a，则a=22,=b2.2. 已知随机变量X的分布函数010.411()0.71313xxF xxx<-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X的分布律为3．设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，如果已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为 1/3 ．4.X～B(2,p),Y～B(4,p),已知p{X≥1}=59,则p{Y≥1}=6581三、计算题1. 设连续型随机变量X的分布函数为+∞<<∞-+=xxBAxF,arctan)(. 求(1) 常数A和B; (2) X落入区间)1,1(-的概率; (3) X的概率密度)(xf（1）A=1/2,B=1/π; (2)1/2; (3) f(x)=1π11+x²(-∞＜x＜∞) X -1 1 3P 0.4 0.3 0.32. 设连续型随机变量X的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤=,,1,,arcsin ,,0)(a x a x a a x B A a x x F 其中a >0, 求: (1) 常数A 、B ; (2) }2{aXP <; (3) 概率密度f (x ).（1）A=1/2,B=1/π; (2)1/3; (3) f(x)={√22,|x |<a0, |x |≥a3. 若ζ～U[0,5], 求方程x 2+ζx+1=0有实根的概率.4．设连续型随机变量的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=2,0;20,41;0,)(x x x ke x f x求（1）系数k ；（1）ξ的分布函数；（3）{}{}{}21,1,1<<=≤ξξξP P P ． 5．已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧⋅≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求随机变量（1）X Y 2=，（2）X Y 2e -=（3）2X Y =的概率分布． 6.设X ～N （0，1）求Y=X 2的概率密度。

7.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件的概率：（1）直到第r 次才成功；（2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功；（4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。

解：（1）1)1(--=r p p P （2）kr r k r p p C P )1(11-=--+ （3）r n r r n p p C P --=)1(（4）rn r r n p p C P ----=)1(11 8.投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。

解 若为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”，投掷次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为：。

ξn n n 2/n n nn n C )21(2/故所求为：。

9.某科统考成绩近似服从N(70,10²),在参加统考的人数中，及格者100人（及格分数为60分），计算 （1）不及格人数；（2）成绩前10名的人数在考生中所占的比例； （3）估计排名第10名考生的成绩。

解：设考生的统考成绩为X,X ～N(70,10²).设参加统考的人数为n, 则P{x ≧60}=1-Ø(60−7010)=Ø（1）=0.8413,100n=0.8413.(1) 不及格人数占统考人数的15.87%，不及格人数为0.1587n ≈19人。

(2) 前10名考生所占比例为10n ≈8.4%(3) 设第10名考生成绩为x 0分,P{X ≧x 0}=0.08413,P{X<x 0}=0.91587 Ø(x 0−7010)=0.91587,x 0−7010=1.37, x 0=83.7≈84分。

10.离散型随机变量x 的分布函数F(x)={0, x ＜−1a,−1≤x ＜1−a,1≤x ＜2a +b, x ≥2,且p(x=2)= 12.求a,b 及x 的分布律.11.巴拿赫火柴盒问题：波兰数学家巴拿赫（Banach ）随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒各有n 根火柴。

每次使用时，他随机地从其中一盒中取出一根。

试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k 根火柴的概率。

解：A ：“取左衣袋盒中火柴”，B ：“取右衣袋盒中火柴”。

P(A)=P(B)=1/2. 若Banach 首次发现他左衣袋盒中火柴用完，这时事件A 已经是第n+1次⎩⎨⎧--------------分为偶数分为奇数12.,22,,02/n C n nn n发生了，而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k 根—相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k 根火柴，即B 发生了n-k 次，即一共做了n-k+n+1=2n-k+1次随机试验，其中A 发生了n+1次，B 发生了n-k 次，在这2n-k+1次试验中，第2n-k+1次是A 发生，前面的2n-k 次试验中，A 发生了n 次，B发生了n-k 次，这时概率为P(A)C 2n−k n (P (A ))n (P (B ))n−k = 12C 2n−k n (12)2n−k由对称性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k 根的概率也是 12C 2n−k n (12)2n−k 。

所以，将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k 根火柴的概率为C 2n−k n (12)2n−k 。

四、应用题1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机，已知每台电视机的故障率为0.005。

（1）如果维修站有4名维修工，每台只需1人维修，求电视机能及时维修的概率。

（2）维修站需配备多少维修工，才能使及时维修的概率不少于96%。

解：设同一时刻发生故障的电视机台数为X, X~B(600，0.005)，由于n 很大，而P 较小，可以利用泊松定理计算。

λ=np=3,所以 P{X ≦4}=1-0.1847=0.8153（查表）P{X ≦n}≧0.96,查表知n=6,即需配备6名维修工。

2.人寿保险问题：某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险。

根据以前的统计资料，在1年内每个人死亡的概率为0.0001。

每个参保人1年付给保险公司120元保险费，而在死亡时其家属从保险公司领取20000元，求（不计利息）下列事件的概率。

（A ）保险公司亏本。

（B ）保险公司1年获利不少于十万元。

解：设这2500人中有k 个人死亡。