xAcos(t0)
原点：
t0
x02 A co s01 2 02 3
2
v 0 0 A s i n 0 0 s i n 0 0
3
c点： t 5s
x c 0 c o s (5 2/3 ) 0 1
v 0 0 s in (5 2 11 /3 ) 0
6
A
方法2 旋转矢量法
（1） t 0 x0 A/ 2
(1). 动力学判据: Fkx
d2x dt2
2
x
0
(2). 能量判据： 振动系统机械能守恒
1mv21kx2 恒量
2
2
(3). 运动学判据: xt A cos
t0
0
arctan(v0
x0
)
4
A
3. 掌握简谐振动的能量特征 总的机械能：
EEpEk1 2m 2A21 2kA2
5
A
4. 掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率
（2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力? 由（1）得
k m 2 0 .0 1 2 0 .0 9 9 N/m
F k x 0 .0 0 8 6 N
9
A
（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
第一次到达x=5.0cm时的相位为 故 第一次达到此处所需时间为
简谐振动的合成
x x 1 x 2 A cot s)(
A A 1 2A 2 22 A 1A 2co2 s( 1)
tanA A 11csio n1 1s A A2 2scion 22s
(12)2k AA1A2
( 同相 )
(1 2) (2 k 1 ) AA1A2 ( 反相 )
(12)其它值 A 1A 2AA 1A 2
v0 0
确定旋转矢量
2 t 5 1
3
6
6
振动方程为
xAcos(1t2) (SI)
63
t
-A -A/2 O A/2
Ax
12
A
（2）由状态a运动到状态b，再由b运 动到c的时间分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
tbab a //6 32s
tcbc b //6 61s
vd
Asin0.451A
（1）t = 0.5 s时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
【解】 （1）由已知可得简谐振动的振幅 A0.10m
角频率 2Trad/s)
振动表达式为题型：
1、已知振动方程，求特征参量 （振幅、周期、频率、初相位）
2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程 3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动
动力学判据；能量判据；运动学判据 4、简谐振动的合成: 解析法、旋转矢量法
7
A
例１ 一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期T = 2.0 s。若t = 0时，位移x0= - 5.0 cm，且 物体向负x方向运动， 试求：
8
A
t 0时 x0.10coso 0.05m v0.05sino0 t 0
由旋转矢量法可得 o 2 3
振动方程 x0.1cost23(SI) -0.05 O
0.1 x
t=0.5s时物体的位移?
x 0 . 1 c o s t 2 3 0 . 1 c o s 0 . 5 2 3 0 . 0 8 6 6 m
E 1 J2 1 k x 2 m gl(1 c o s) C o n st
22
2
J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，
x l 代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：
Jd kl2 d 1m g lsin d 0
d t d t 2
d t
15
A
Jd kl2 d 1m g lsin d 0
d t d t 2
d t
式中， dd2, d, J1m l2
dt dt2 dt
3
在杆作微小振动时， sin
代入后，可以得到： dd2t2 m3l2m2glkl20
杆的微小振动是简谐运动
16
A
例 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。 现将质量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为u。 若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。
振动和波动
1
A
机械振动知识要点
2
A
1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法
xAcots()
决定于系统本身的性质！ k
m
A和由初始条件x0, v0决定！
A
x02
v02
x0
tan v0 x0
v0的正负号(sin)
3
值
A
2. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐 振动，能根据已知条件列出运动的微分方程， 并求出简谐振动的周期
O 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向
mgM M g M F ( m 2 g ls in) ( k ls inlc o s) m 3 l2 d d 2 t2
f
很小时 dd2t2 m3l2m2glkl20
细杆微小振动是简谐振动
14
A
方法二. 分析能量法
由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置 系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为
3
ad
2 x
6
2
Acos
3
a
-A -A/2π / 3
π /6
A/2 A x
2 Am/s2
72
13
A
例3 一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无 摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻
弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。 求细杆作微小振动是否是简谐振动。
【解】 方法一. 分析受力法
5 3
t0
5323
t1 1s
-0.05
O 0.05 0.1 x
连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为
2 3
t2 2 30.67s
10
A
例2、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程 （2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间
分别是多少
（3）状态d的速度和加速度
【解】 方法1 解析法
解：以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正，
设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力
分别为N1，N2
O
x
根据木板所受力矩平衡条件
N12dmgdx
N22dm gdx
2d
木板在水平方向所受到的合力