第七章 二阶线性常微分方程 例题
7.1二阶线性常微分方程解的一般性质及常点邻域内的级数解
例1：求厄米特方程 w '' – 2zw ' + λw = 0 在 z = 0 邻域内的解。 解：(1) 级数 λ 在 z0= 0 解析，则 z0 是方程的常点，且 p 与 q 已经是在 z0 = 0 的幂级数形式，故只用展开 w (z)。 级数解具有以下形式：
同理：
(3) 线性无关的解
w0 (z), w1 (z) 都是方程的解，但线性无关。方程的通解 是 w0 (z) 与 w1 (z) 的线性组合。
(2) 将级数解代入方程，求待定系数。
为了比较同次幂的系数，对上式作变换，有
令 k = k' + 2，则上式右边为
于是，有
由于上式在 z0 的邻域内成立，即上式为 z 的一个恒等式， 故 z 的同次幂的系数为 0，则
因而，有
——待定系数的递推关系
由上式可见，偶次幂项与奇次幂项彼此独立，可分别 用 C0 与 C1 表示，即