B
（0l l
x）Sgdx
v
0 mvdv
Sl
v
0 vdv
v
2 lgx lg
例：一柔软绳长l，质量线密度l，一端着地开始自由下落，
求：下落的任意时刻，给地面的压力为多少？
解：建坐标， 以整个绳子为研究对象 任意 t , 绳受重力、地面对绳的支撑力N
y
N lgl dp d(mv)
dt
dt
y
l
O
解：设细棒的质量线密度为l
P
l M
O
L
d A dm x dx
L
B
x
任选一质量微元dm，其与质点P 的引力为
df
G
mdm x2
mldx
G x2
f
dL
G
d
mldx
x2
G mM d (d L)
两质点间
f
G
m1m2 r2
若 L << d,
mM f G d2
与平方反比定律一致。
例. 一质量密度为 的细棒，长为l，其上端用细线悬挂着，
解：
m
g
F浮
kv
m
a
m
dv dt
kv
mg F浮 kvT 0
F浮
dv
kvT kv m a m dt
mg
求：(1) b 球下摆到与竖直线成 角时的 v (a 球未离地） (2) = ？a 球刚好离开地面。
解： 研究对象a、b小球
(1) 分析 b 运动
a 球离开地面前 b 在竖直面内 做半径为 lb 的圆周运动。
O lb b
a
分析 b 受力,选自然坐标系
当 b 球下摆到与竖直线成 角时
Fn
T
mg cos
三、牛顿第三定律(作用力与反作用力)
作用力与反作用力大小相等、方向相反，作 用在不同物体上。
牛顿定律只适用于惯性系。
1.2.2 自然界中的力（自学）
从力的性质上说，自然界只有四种基本的相互作用
1. 引力相互作用 2. 电磁相互作用 3. 强相互作用 4. 弱相互作用
一切物体之间 静止或运动电荷之间 强子之间，如质子、中子、介子… 轻子（如电子、µ 介子）及强子间…
下端紧贴密度为′的液体表面。现将悬线剪断，求细棒恰 好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。
解： 在下落时细棒受两个力：
重力 G ，浮力 B
当 t 时刻，棒的浸没长度为 x
F G B S lg Sxg
l
（l x）Sg m dv v dx
O
Gx
dt
dt
（l x）Sgdx mvdv
牛顿第二定律的更准确表示:
F
dp
d(
mv )
m
dv
ma
（低速时m不变）
dt dt
dt
上式中的力是合力
F Fi
注意： 上式的瞬时性 矢量性
F ma
直角坐标系
自然坐标系
分量形式
Fix ma x
i
Fiy ma y
i
Fiz maz
i
i
Fin
man
m
v2 R
Fit
i
mat
m
dv dt
v2 2g(l y) N 3lg( l y )
d(lyv)
dt
l(v
dy dt
y
dv )
dt
dy v dt
dv g dt
N lgl l(v2 yg)
例沉：时在受液 到体 的中 液由 体静 阻止力释为放f一 质k量v 为，mv是的小小球球的，速它度在。下
设小球的终极速率为vT，求：任意时刻t，小球的速率。
1. 2 牛顿运动定律及其应用
1.2.1 牛顿运动定律 1.2.2 自然界中的力(自学） 1.2.3 牛顿运动定律的应用 1.2.4 非惯性系与惯性力 作业： 1-11、1-15、1-18
艾萨克·牛顿 (Isaac Newton, 1643-1727) 英国人
1687年出版了《自然哲学的数学原理》
m v2 lb
(1)
Ft
mg sin
m dv dt
(2)
由(2) 式
gsin dv dv ds v dv dt ds dt ds
v
s
vdv gsinds gsin (lbd )
0
0
2
v 2lb g cos (3)
O
lb b
a
T
mg
vdv gsinθ d s
s
lb
( 2
-
)
(2) = ？a 球刚好离开地面。
力的强度（相邻质子间）：
强相互作用 ≈ 10 4 N， 电磁相互作用 ≈ 10 2 N ， 弱相互作用 ≈ 10 -2 N ， 引力相互作用 ≈ 10-34 N 。
常见的力
1、万有引力 存在于一切物体之间
两质点间
f
G
m1m2 r2
G 6.67 1011 N m2 / kg2
2、 重力 地球表面附近的物质所受的地球引力
分析a 运动
当 T = mg 时，a 球刚好离地
由（1）式
Fn
mg mgcos
v2 m
lb
m
2lb gcos
lb
1 cos 2cos
cos1 1
3
NT
a
mg
O
lb b
a
T
T
mg
mg
例：一均匀细棒AB长为L，质量为M。在距A端 d 处 有一个质量为 m 的质点 P，如图所示， 求：细棒与质点 P 间的万有引力大小。
3. 分析力
找出研究对象所受的全部外力,画出受力图
4. 列方程
列牛顿定律方程. 选择适当的坐标系, 列出沿各坐标轴方向的方程.
5. 解方程，对结果作必要讨论。
例.一根不可伸长的轻绳跨过固定在O点的水平光滑细杆， 两端各系一个小球。a 球放在地面上，b 球被拉到水平位 置，且绳刚好伸直。从这时开始将 b球自静止释放。设 两球质量相同。
P
mg
方向竖直向下
mM
M
P G R2 mg , g G R2
M：地球质量 R：地球半径
3、弹簧的弹力 4、滑动摩擦力
f kx fk k N
1.2.3 牛顿运动定律的应用
解题步骤
Fi ma
1.认物体(确定研究对象)；
一般采用隔离体法. 即把系统中的几个物体分别研究。
2. 看运动
分析研究对象的运动状态,确定各研究对象运动状态之间的联系.
1. 定义了惯性参考系 惯性系 ___ 在该参照系中观察,一个不受力的物体 将保持静止或匀速直线运动状态不变.
2. 定义了物体的惯性和力 惯性___ 物体本身要保持运动状态不变的性质. 力___ 迫使一个物体运动状态改变的一种作用.
二、 牛顿第二定律
定量给出了运动状态的变化与所受外力之间的关系
F ma m 惯性质量
牛顿运动定律 万有引力定律源自牛顿定律是经典力学的基础，它统治了物理学各个领域近二百多年，
他还发现了光的色散，创制了反射望远镜，创立了微积分等，……
牛顿定律适用于宏观低速物体
1.2.1 牛顿运动定律
（Newtons laws of motion)
一、牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持 静止的或作匀速直线运动的状态。