证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证).
或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)
=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数,
=
3 5
×
12 13
-
4 5
×
5 13
=
16 65
.
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若
(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; 大值时, 求 B 的大小.
(2)y=2sin2B+sin(2B+
6
)
取最
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc.
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.
注 和与第三个角的半角总互余;
锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
,
则 C=_3_0__.
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 直径是_2___3_9__.
3
7.在 则 cos2
8.在
△ABC
B+C 2
=
△ABC
中,
1 3
,
中,
bAa2B,+b=c,21c的, 是B最C角=大2A值, ,则B为角, C92C的.的对取边值, 范a=围3是, _(c0_o,_s_A6_=]_.13
<cosAcosC≤
1 4
.
即
cosAcosC
的取值范围是
(-
1 2
,
1 4
].
13.已知锐角 △ABC 中,
sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
.
(1)求证:
tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高.
(1)证:
∵sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
B=
3
时取等号.
∴B= 3.
12.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围.
解: ∵△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,
∴2B=A+C 且 A+B+C=180º. ∴B=60º, C=120º-A.
∴cosAcosC=cosAcos(120º-A)
这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC,
三角形中含有边角混合关系的问题时,
常sin运A用+2B正=弦co定s C2理; (、2)余求弦解
定理实现边角互化.
应用举例
应用一: 解三角形
例1 设△ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的
倒数也成等差数列, 求三内角. A=B=C=60
(正三角形时取等号).
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数,
而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,
5 13
<
1 2
,
∴60º<B<90º, 且sinB= 1-cos2B
=
12 13
.
又sinA=
3 5
<
2 2
,
∴0º<A<45º或 135º<A<180º.
∵A+B<180º, ∴0º<A<45º. ∴cosA=
1-sin2A
=
4 5
.
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
tanA+tanB 1-tanAtanB
=-
3 4
.
将tanA=2tanB代入上式并整理得:
2tan2B-4tanB-1=0.
解得: tanB=1+
6 2
(负值舍去).
∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则:
3=AB=AD+DB=
CD tanA
+
CD tanB
=
3CD 2+ 6
断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c
的比.
直角三角形; 8:15:17
应用三: 三角形的证明
例1 在 △ABC 中,
求证:
(1)
a-ccosB b-ccosA
=
ssiinnBA;
(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);
,
9.设 O 是锐角三角形 ABC 的外心, 若 C=75, 且 △AOB,
△BOC, △COA 的面积满足关系式 S△AOB+S△BOC= 3 S△COA,
求 A. 45
10.在 △ABC 中,
已知 sinA=
3 5
,
cosB=
5 13
,
求 cosC 的值.
解:
∵在 △ABC 中,
cosB=
且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_充__要__条件.
,
∴
sinAcosB+cosAsinB= sinAcosB-cosAsinB=
3 5 1 5
, ,
sinAcosB= cosAsinB=
2 5 1 5
, ,
tanA tanB
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
由已知
2
<A+B<,
sin(A+B)=
3 5
,
∴tan(A+B)=-
3 4
.
即
情额娘不要太费心，您保重好身体是最重要的。”“放心吧。你踏实办差吧。”“谢额娘，那儿子先告辞了。”“行，去吧。”目送四哥远去 的身影，十四阿哥立即从椅子上蹦起身，挤到了额娘的暖炕上：“额娘，四哥说的那个西泰的女儿，额娘得给儿子留着！”“怎么，你也看上 了？”“儿子都不知道那丫头长什么样了儿呢！只是，四哥看上的人，准是什么好处，儿子得先下手为强。”“你呀，从小就跟你四哥争，什 么都争。这回倒好，都不知道是什么东西呢，就先争上了。”“儿子不管，反正额娘壹定要先给儿子留着。”“额娘留不留那是后话，关键是 那丫头能不能摞牌子，如果被你皇阿玛看上了，你有几个胆子跟你皇阿玛抢诸人？”“额娘，您就放心吧，是不是皇阿玛的诸人，过不了几天， 儿子就知道了。”“就算不是你皇阿玛的诸人，那么多姑娘，你干嘛非跟你四哥抢？”“额娘，您不想想，四哥什么时候主动看上过什么诸人。 这回跟您提的，他哪儿是看上了那姑娘啊，分明看上的是西泰啊！四嫂的娘家在朝中早就没有什么势力，其它侧福晋、格格们的娘家，没壹个 上三品的，四哥现在急于招兵买马，这回，不但在朝堂上拉拢了西泰，府里还多了壹个诸人，这只赚不赔的买卖，谁不惦记着？”“就你贼！ 算计完你皇阿玛，就算计你四哥。”“儿子不管，只要儿子拿到了名单，如果那上面没有伊尔根觉罗氏，额娘壹定要给儿子留好了。”“行， 行！”王爷出了永和宫，才初春，已经淌湿了壹身的汗。不知道十四弟会不会按照他预期的想法去行动，但是他只能赌壹把了，不管是输是赢， 他都奉陪到底。壹回到府里，他立即把秦顺儿叫到了跟前：“告诉粘竿处的莫吉，派几个得力的奴才，盯死了八爷、十四爷和赫奕。”“从现 在开始？”“对”“爷是想要什么情报？”“今年选秀入选秀女的名单。”“啊？爷怎么会……？”“这也是你该知道的？规矩都被你就饭吃 了？还是想挨板子？”“是，是，奴才该死，奴才该死。”秦顺儿吓得屁滚尿流地退下去了，只是他实在是不明白，爷要过的东西多了去了， 但是他给爷当差这么多年来，爷唯壹没有要过的东西就是诸人。怎么这壹次爷要的居然是入选秀女的名单？第壹卷 第三十二章 喜讯王爷的 计划是经过深思熟虑的。十四弟如果中了他的计，必然也会需要得到这张名单，必然会去找赫奕。而十四弟与八弟是死党，即使他从赫奕的手 中拿不到，求到八弟的头上，八弟必会助他壹臂之力，如愿以偿。因此，由十四弟出面寻这个名单，要远比他自己出面强多了。自己所要做的， 只是螳螂捕蝉、黄雀在后而已。但这个计划能够实施的最大前提就是，十四弟会象以往那样，对他这个四哥看上的任何东西，都要不遗余力地 去
能有两解.
3.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, 弦定理鉴定三角形的形状.
cosA=
b2+c2-a2 2bc
等,
常选用余
4.射影定理: a=bcosC+ccosB.
5.面积公式: 切圆半径).
S=
12aha=
12absinC=
12r(a+b+c)(其中
r
为三角形内
特别提醒: (1)求解三角形中的问题时, 一定要注意 A+B+C=
