三角函数与三角形(一) 知识点与重难点(1.ααπ→+k 2：ααπsin )2sin(=+k ,ααπcos )2cos(=+k ,ααπtan )2tan(=+kααπ→-2：ααπcos )2sin(=- ,ααπsin )2cos(=- , ααπcot )2tan(=- 2. ααπ→-：ααπsin )sin(=- ,ααπcos )cos(-=-, ααπtan )tan(-=-ααπ→+2： ααπcos )2sin(=+ ,ααπsin )2cos(-=+ , ααπcot )2tan(-=+ 3. ααπ→+：ααπsin )sin(-=+ ,ααπcos )cos(-=+, ααπtan )tan(=+：ααπcos )23sin(-=- , ααπsin )23cos(-=-,ααπcot )23tan(=- 4. ααπ→-2：ααπsin )2sin(-=- , ααπcos )2cos(=-ααπtan )2tan(-=-ααπ→+23：ααπcos )23sin(-=+ ,ααπsin )23cos(=+ααπcot )23tan(-=+αα→-：ααsin )sin(-=- , ααcos )cos(=-, ααtan )tan(-=-5. sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±, cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m6. tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m ,7. αααcos sin 22sin ==αα2tan 1tan 2+， tan 2α=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- =αα22tan 1tan 1+- 8. 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ 9．22222222cos sin ())a b a b a b a b a b ααααϕα+=+=++++10.三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数 奇偶性单调区间sin y x =奇在[2,2]22k k ππππ-+上增 在3[2,2]22k k ππππ++减()k Z ∈cos y x =偶在[2,2]k k πππ-上增在[2,2]k k πππ+减()k Z ∈tan y x =奇在(,)22k k ππππ-+上增()k Z ∈11．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；12．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；13．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．14.正弦定理：2sin sin sina b cRA B C===（R为ABC∆外接圆的半径）.2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C⇔===::sin:sin:sina b c A B C⇔=15.余弦定理：2222cosa b c bc A=+-;2222cosb c a ca B=+-;2222cosc a b ab C=+-.16.面积定理：（1）111222a b cS ah bh ch===（a b ch h h、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(三)解题方法三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集(四) 典型例题与巩固练习例1（扬州市2011届高三数学第二轮调研试卷★）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心；⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.注解：本题考查了半角公式、二倍角公式、和差角公式的应用以及三角函数图象与性质解：⑴()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ ∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， --------------6分令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈； ------------8分⑵∵[,]63x ππ∈-∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2。

----------14分巩固练习：1. （2010湖南文数★）（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

2. （2010江西理数★★）（本小题满分12分）已知函数()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(1) 当m=0时，求()f x 在区间384ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围； (2) 当tan 2a =时，()35f a =，求m 的值。

3. （2010山东文数★★）（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.4. （2010安徽★）已知函数2()sin 3sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=+⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围； （2）求函数()f x 的单调递减区间.例2（2011江苏★）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2） 若cb A 3,31cos ==，求C sin 的值.注解：本题考查和差角公式、角的范围限制、特殊值所对应的角以及余弦定理巩固练习：1. （2010年高考浙江卷★★）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）当2a =，2sin sin A C =，求b 及c 的长.2. （2010年高考辽宁卷★★）（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.3.（2010年全国★★）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足a 2 + c 2 – b 2 = 12ac ． ①求sin 22A C++ cos2B 的值； ②若b = 2，求△ABC 面积S 的最大值．4. （2010年福建★★）（本小题满分12分） △ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，且满足.222c b ab a =+-（1）求角C ；（2）若△ABC 的周长为2，求△ABC 面积的最大值。

例3（2009年江苏★★）（本小题满分14分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b注解：本题考查到了向量的运算法则、向量垂直以及平行特殊性质、模的运算、和差角公式以及三角函数中最大值与最小值的处理，这是一题典型的向量与三角函数的结合题。

巩固练习：1. (2009年广东卷文★★)（本小题满分12分）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值2. （2011宿迁2模★★）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos b c A a C -=。

（1）求角A 的大小；（2）设2(0,1),(cos ,2cos )2C m n B =-=u r r ，试求m n+u r r 的最小值。

3.（2011泰州2模★★） 已知向量)1,(sin x a =ρ，)cos ,1(x b =ρ．（1）求满足a ρ∥b ρ的实数x 的集合；（2）设函数2||)(b a x f ρρ+=，求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时的值域．例4（2010陕西文数★）（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.注解：此题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的一些应用。

巩固练习：1. (2010年高考全国2卷理数17★）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 2.（2009天津卷★★）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。