第9讲
隐函数及由参数方程所 确定的函 数的导数
• 一、授课时间：2007－4－17－3、4节 • 二、教学目的要求： 在复习巩固上节显函数 导 数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与 参数方程确定的函数的求导方法。 • 三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的 求导； • 教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。 • 四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。 • 五、教学手段：多媒体＋适当板书。
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则
（常数和基本初等函数的导数公式） 1、基本导数公式
( C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec2 x (sec x ) sec xtgx ( a x ) a x ln a 1 (log a x ) x ln a 1 (arcsin x ) 1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。
易知函数用解析法表示的方法有：
• 【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则） • 【2】隐函数
f ( x, y) 0
• 【3】用参数方程表示的函数，即
x (t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系, y (t )
• 问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？
dy x ， dx y x y . x y
或
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 y x.
解 方程两边求导，得
( y x e xy ) ' 0 y ' 1 e xy ( xy) ' 0 y ' 1 e xy ( y xy ' ) 0
y y ( x)称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
当 1 - xexy 0 时，解得
xy d y y e 1 ' y ， xy dx 1 xe ye xy 1 y . x xy 1 xe
即
例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲 线上的点的切线方程.
解 方程两边求导数，可得
dy x 3 ( y 0). dx 2y
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求导，得
dy 1 cos y dx
1 y . cos y
第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数
• 【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 • 【2】总结 • 【3】课堂练习
第二章 导数与微分
【1】2－3 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的 函数的导数 三、对数微分法
一、隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的函数
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
课堂练习1－例2。30
设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)， 求 dy ? . dx 解 将方将程两边求导，可得 当y0时
将 x = 4 代入方程，得 y = 1. 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 在 P2 处切线的 斜率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0
2、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x ), v v ( x ) 可导，则
c 是常数), （1）( u v ) u v , （2）( cu ) cu (
v Байду номын сангаас uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
继续【2－2】课堂练习
• 课堂练习： • 习题2－2 ）2（14）
已知
y sin ln(x ) , 求其导数。
2
2 2 ' 2
1 解：y cosln(x ).[ln(x )] cosln(x ). 2 .2 x x 2 cosln(x 2 ) x
复习：导数公式与求导法则
• 1、基本导数公式 • 2、求导法则
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y )的反函数为y f ( x ), 则有 1 f ( x ) . ( x )
(3) 复合函数的求导法则
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数y f [( x )]的导数为 dy dy du 或 y ( x ) f ( u) ( x ). dx du dx