y 2 xesin x (2x 1)(3x 4)
16
例7 设 y x x ( x 0), 求 y .
解 等式两边取对数得
ln y ln xx x ln x
上式两边对x求导得 y ln x 1 , y
对数恒等式 f ( x) eln f ( x )
y y(ln x 1) x x (ln x 1) .
18
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x

y
xy ln y xy ln x
(t)

.
dx2 (t) 勿丢
dt
21
例10
设

x y

ln(1 t 2 ) t arctant
，求
d d
y x
d2 y ,
dx2
.
解
dy

y

(x 1)3 x 1 (x 4)2 ex


x
1 1

1 3(x 1)

x
2
4
1

13
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y ln
xesin x
1 ln
xesin x
(2x 1)(3x 4) 2 (2x 1)(3x 4)
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.
(ey(x)

x) y(x)

ex

y(x)

y( x)

ex y(x) ey(x) x
.
4
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
y2 x2
.
19
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程

x y
(t) (t)
确定了y与x间的函数关系
,
则称此函数为由参数方程确定的参数式函数.
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1(x),
则 y [ 1(x)].
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
2(1 sin y) 2x cos y 2x

1 sin y
(1 sin y)2

2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
隐函数,求 d2 y dx2
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y

y

ex ey

y x
.
5
隐函数求导法则
思想: 在方程 F(x, y) 0 中,将 y 视作 x 的函数,
3
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx 解 Q y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导 ，
从中解出 y 即可.
例2
求由方程 x2 y cos y 0确定的隐函数的导数 dy dx
x1 .
y0
解 方程两边关于x求导（注意y是x的函数)，得
2x y sin y y 0
解得
y 2x ， dy 1 sin y dx
,
y y

ln
(2x
xesin x 1)(3x
4)


...
2、虽然进行了化简,但没有化简到最简单,比就原急式着更求繁导..
ln y 1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
y 1 [(xesin x ) (2x 1)(3x 4) ] ....
由复合函数及反函数的求导法则可得
dy
dy dx

dy dt

dt dx

dy dt

1 dx

(t) (t)
，
即
dy dx

dt dx
dt
dt 20

x y

(t) (t)
,
dy

dy dx

dt dx
(t) (t)
，
dt
若函数x (t) , y (t)二阶可导, 则有
y0
2 y |x1 cos 0 ( y |x1 )2 sin 0 y |x1 0 y |x1 2.
y0
y0
y0
y0 9
二、对数求导法
方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后 应用隐函数求导的方法求得导数. 回顾对数性质：
log a (MN ) loga M loga N ;
ln[(x 1) 3 x 1] ln[(x 4)2 ex ]
ln(x 1) ln 3 x 1 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1)3 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1) 2ln(x 4) x
1 [ln xesin x ln(2x 1)(3x 4)] 2
1 [ln x ln esin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)]
2 14
例5 设 y
xesin x
x1 y0

2x 1 sin
y
x1 2.
y0
6
例3 求椭圆 x2 y2 1 在点 P(1, 4 2 ) 处的切线方程.
94
3
解 方程两边关于x求导，得
2x 2y y 0， y 4x ，
94
9y
k y P
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 .
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
解 等式两边取对数,化简
ln y 1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
上式两边对 x求导得
勿丢
y 1 [1 cos x 2 3 ]
y 2x
2x 1 3x 4
y 1
xesin x
[1 cos x 2 3 ].
2 (2x 1)(3x 4) x
2x 1 3x 4
注意：需把 y 换回成原来表达式.
15
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
本题常见问题：1、为取对数而取对数,没有任何化简.
ln y ln
xesin x (2x 1)(3x 4)
第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
Kepler方程：y x sin y 0 (0 1).
方程：ey ex xy 0.
问题: 如何求隐函数的导数？ （这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且 可导所需的条件，下学期学习.）
情形1: 隐函数可以显化, 显化后求导即可.
情形2: 隐函数无法显化, 应用隐函数求导法则求导.
注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的. 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.
例如 方程 x2 y2 1在实数域内不存在隐函数.
2
部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.
显化
x3 y3 1 y 3 1 x3 .
但许多隐函数不易或者不能显化. 例如：
另解 ( x x ) (eln xx ) (e xln x ) e xln x ( x ln x) e xln x (ln x 1) x x (ln x 1) .
17
例8 设 y (tan x)sin x (tan x 0), 求 y .