例1.
? ? ?
x y
? ?
arcsin ln(1 ? t
t ，求 2)
dy dx
；
解： dy ? y?(t) dx x?(t )
2t
?
1? t2 1
1? t2
?
2t 1? t 2 1? t2
例2.
设由方程
?x ? t2 ? 2t
? ?
t
2
?
y?
? sin
y?
1
(0 ? ? ? 1) 确定
函数 y ? y( x )，求 dy ; dx
隐函数求导法则 :
用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .
例 1. Kepler equation : y ? x ? ? sin y ? 0；
2. 求 x 2 ? y2 ? R 2 (R ? 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M 0( x0 , y0 ) 的切线方程；
3. 求 y ? (sin x )cos x (sin x ? 0) 的导数 .
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx d t ? 2t ? 2
2t ? d y ? ? cos y d y ? 0
dt
dt
d x ? 2(t ? 1) dt d y ? 2t
d t 1? ? cos y
故
dy dx
?
dy dt
dx dt
t ?
(t ? 1)(1? ? cos y)
例3.
? ? ?
两边取对数
( ln u )?? u? u
ln y ? 1?ln x ? 1 ? ln x ? 2 ? ln x ? 3 ? ln x ? 4 ?
2
对 x 求导
y?? 1 ? 1
?
1
?
1 ?
1
?
y 2 x?1 x?2 x?3 x?4
?1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
x?1 x?2 x?3 x?4
隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .
代表平面上一条曲线，
设
x
?
? (t) 的反函数为
t ? ? ?1( x ), 并且设它满足反函数求 导法则(严格单调，连续 )
于是 y 看做复合函数 y ? ? (t), t ? ? ?1( x ),则有
dy dx
?
dy dt ?
dt dx
?
dy 1 dt ?dx
?
? ?
?(t ) ?( t )
dt
上式两边对 x求导得
y?? 1 ? 1 ? 2 ? 1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4
?
y??
(
x (
? x
1)3 ? 4)
x? 2ex
1
[
x
1 ?
1
?
1 ?
3( x ? 1)
2 x?
? 4
1]
例5. x y ? y x ,求由方程确定的隐函数 y 的导数； 解: 两边取对数， y ln x ? x ln y
2x ? 2 yy? x ? yy? 2 x2 ? y2 ? x2 ? y2
?
arctan
e
y x
? 1?
1 (y
)2
?
xy?? x2
y
x
?
x2 ?
y2
?
xy?? x2
y
? x ? yy?? xy?? y
(1)
y?? x ? y x? y
再对(1)式两端关于 x 求导： 1? y?2 ? yy??? xy??
?
?
??(t )? ?(t ) ? ? ??(t )? ? ?3(t )
?(t )
注意 : 已知
?t ),
? ?
y
?
a(1 ?
注意： 1. 两端求导时，始终 y ? y( x );
2. 求导式充分简化表达式 。
说明:
1) 对幂指函数 y ? uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y ? v ln u
1 y?? v?ln u ? u?v
y
u
y?? uv ( v?ln u ? u?v ) u
y?? uv ln u ?v? ? vu v?1 ?u?
对数求导法则： 从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对 数，再求导。
例4.
设
y
?
( x ? 1)3 x ? 1 , 求y?. ( x ? 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ? ln( x ? 1) ? 1 ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3
x? y?
f (t) f (e3t
? ? ，其中
? 1)
f
可导，且
f ?(0) ?
0，求
dy ； dx t? 0
解： dy ? f ?(e3t ? 1) ?e3t ?3
dx
f ?(t )
dy ? dx t? 0
3 f ?(0) f ?(0)
?3
例4.
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t),求 (t)
d2y dx 2
§3 隐函数和参数方程求导法
? 隐函数求导 ? 参数方程求导 ? 导数的简单应用
一. 隐函数求导
定义: 由方程 F ( x , y) ? 0 所确定的函数 y ? y( x )称 为隐函数 .
y ? f ( x ) 形式称为显函数 .
F (x, y) ? 0
y ? f ( x ) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?
将 y?? x ? y 代入上式有： x? y
y???
2( (
x x
2 ? y2 ? y)3
)
.
二. 参数函数求导法则
若参数方程
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函数关系
,
称此为由参数方程所确 定的函数 .
由复合函数及反函数的求导法则得。
?x
? ?
y
? ? (t ), ? ? (t).
;
解：
dy dx
?
? ?
?(t ?(t
) )
d2y dx 2
?
d dx
?? ?
dy dx
?? ?
?
d dx
?????
?(t ) ?(t )
??? ?
d dt
?????
?(t ) ?(t )
?? ?
? dt dx
?
?
1 ??
?(t )
??(t )?
?(t ) ? ? ??(t )? ? ?2(t )
?(t )
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y ? x ln a ? a[ ln b ? ln x ] ? b[ ln x ? ln a ] b
两边对 x 求导
y? ?
ln a
?
a
?
b
y bxx
又如, y ?
( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 3)( x ? 4)
再求导 y?ln x ? y ? ln y ? x y?
x
y
? y?? y( x ln y ? y) . x ( y ln x ? x )
arctan y
例6.
求由方程
e x2
?
x
y2
?
1所确定的隐函数
y ? y( x ) 的二阶导数。
y
解:
将方程化为：
x2 ?
y2
?
arctan
e
x
两端对 x 求导