A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
例1 已知平行六 AB面C体 DA'B'C'D'，化简
列向量表达式， 化并 简标 结出 果的向
⑴AB BC；
D’
⑵ABADAA'；
A’
⑶ABAD1CC' 2
⑷1(ABADAA')． D 3
A
C’ B’
C B
2020/10/9
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
C
MG
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(A BBC CC ')
A
(2)AEAA' xAByAD B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
作ABCD—A’B’C’D’．
D’
C’
平行六面体
A’
B’
的六个面都是平
行四边形，每个
面的边叫做平行 a
六面体的棱．
D
C
2020/10/9
A
B
AD 1AD 1BD 1
D1
A1 D (B1 CB1 D )
A1
AD1 D1C1
C1 B1
AC1
x1.
2020/10/9
D A
C B
例2：已知平行六面体
D1
ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A1
C1 B1
⑶ AC A1B A1D xA1C D
C
解：(3) ACA1BAD 1 A
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
2020/10/9
b a
平行四边形法则
2020/10/9
a 三角形法则
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律： λ(a＋b)＝λa＋λb
2020/10/9
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
(1)AC ' x(A BBC CC ') A
B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(2)AEAA' xAByAD A B
E
D
C
2020/10/9
A B
D C
练3
空间四 AB边 中 CAD 形 ， Ba， B＝ C b， A D c，
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
解 (1) A1B A 1D 1C 1C
D1
AB 1 B1C 1 C 1CA1Fra bibliotekC1 B1
AC
x 1.
D
C
A
B
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例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2A1D B1D xA1C
解：(2) 2AD 1BD 1
a
b
c
2020/10/9
a
b
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
2020/10/9
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑴AB BC；
D’
⑵ABADAA'； A’
解：⑴AB BC AC
⑵ABADAA'
AC AA' ACCC'
AC '
D A
C’ B’
C B
2020/10/9
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量 ⑶ABAD1CC'
2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
G
3
2020/10/9
C
小结
类比、数形结合
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (ab)ca(bc)
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
ABAD1CC' 2
AC CM
AM
D’ A’
C’
B’ M
D
C
2020/10/9
A
B
例1已知平行六 AB面 C体 DA'B'C'D'，化简下
列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑷1(ABADAA')． 3
解：⑷设G是线段AC’靠近点A的
三等分点，则
D’
C’
1(ABADAA') 3 1 AC '
3
AG ．
A
A’
G D
B’ M
C B
2020/10/9
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) A1B A 1D 1C 1CxAC
(2) 2AD1 BD1 xAC1
D1
(3) ACAB1 AD1 xAC1A1
C1 B1
2020/10/9
D A
C B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A1
A n1
A2
An
2020/10/9
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A n A 1 0
G C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
(1) AB1(BCBD ) (2) AG1(ABAC)
2
2
A
(1)原式 A B ＝ BM M G AG
B
M
2020/10/9
(2)原式
＝ A BBM M G 1(A BA)C
D
2
＝ BM M G1(AB AC )
G
2
BMMGMB
B
(A D A) B (A 1 A A) B (A 1 A A)D
2(AD AB A1A )
2020/10/9
2AC1
x2.
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD)
2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
B
M
2020/10/9
2020/10/9
浙江省玉环县楚门中学吕联华
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 AB 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
B
D
A 2020/10/9
C
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C
B
P
a
b
O
b
a
A
a a
O
OBOAABa + b
CAOAOC a - b
OP a (R)
2020/10/9
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb ；
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
2020/10/9
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
例：空间一个平移就是一个向量． a
a
D
A C
B
2020/10/9
D’
A’ C’
B’
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’