第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、平面向量的表示方法：①几何表示法：_________________________②字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）②单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③相等向量：____________________________④相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb数乘结合律：λ（aμ）=a)(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）[师]：空间向量与平面向量有什么联系？[生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．[师]：请同学们试着完成P85的探究。
在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AB+AD+ AA ’=AC ’AB+ AA ’+ AD= AC ’所以 （AB+AD ）+AA ’=（AB+AA ’）+AD所以 三个不共面向量的和等于以该三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
完成书P86的练习3师：下面来练习打开同步P95 做 1、2、3、5师：今天的作业：1、同步P95 练习二十五 做完2、书P97 习题3.1 A 组 1、2做书上反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（可分两课时）[师]：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。
（展示学习目标）学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．[师]：请看自学指导请同学们认真阅读书P86-87的内容，⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？（结合自学指导，略作解答）1、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ．注意：零向量与任意向量都是共线向量。
2、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②（要知道这个推论的条件） [师]：如何证明这两个推论呢？ 因为l ∥a ，满足AP=ta,又因AP=OP-OA,所以OP=OA+ta,若在l 上取AB=a ，则有OP=OA+tAB ，进一步， 因为AB=OB-OA,所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB[师]：若当12t =时，点P 是什么？向量OP 会怎样？ [生]：点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ [师]：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．[师]：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？[生]：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。
[师]：共线向量定理及其推论有何应用？[生]：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。
3、共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．[师]：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？[生]：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行[师]：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？[生]：不一定，比如（自举例）。
4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．[师]：这与平面向量基本定理类似，a ，b 叫做基底，请同学们完成P87的探究 a lPB AO前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图3.1-9 讲解（因为xa ，yb 与a ，b 共线，所以xa ，yb 都在a ，b 确定的平面内。
又因为xa+yb 是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a ，b 确定的平面内，所以p=xa+yb 在a ，b 确定的平面内，即p 与a ，b 共面。
）[师]：共面向量定理和推论有何应用？[生]：可以判断四点共面。
师生共同完成例1补充：证明平面A C ∥平面EG 。
（选讲）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．例2．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．推广：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？（仿照例2独立完成，写在练习本上或P88思考处，请一位同学上黑板板书） 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．注意：可作为结论来判断四点共面。
[师]：剩下时间请同学们完成P89 练习1、2、3[师]：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。
布置作业：同步P96 练习二十六反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（一）师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。
展示学习目标。
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
师：目标明确的同学请举手。
（老师根据情况进行下一步）。
请看自学指导。
（展示自学指导）认真阅读书P90的内容，完成下列问题。
（时间5分钟）1、空间两个向量的夹角：已知两个_____a，b，在空间中任取一点O，作_________________，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_______,且规定夹角范围为___________.若夹角为90°，则称a与b_________，记作_______；当非零向量同向时夹角为______,反向时夹角为______.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_______，在研究垂直时，也认为0⊥a.（空间向量的夹角特点：___________________2、两个向量的数量积：a·b=_______________________规定：零向量与任何向量的数量积为________3、空间向量数量积的运算律：a)(λ______________=⋅b交换律：________________ 分配律：________________师：通过看书，同学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。
问题1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？问题2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）问题3：完成P90的思考。
（2）向量没有除法；（3）向量的数量积不满足结合律师：请阅读P91的例1、例2（5分钟）这两题都用向量法证明了三垂线定理和线面垂直的判断定理，主要用到了空间向量a ⊥b⇔a·b=0这个结论。