《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A)2240a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)223023ad r dr a πθπ=⎰⎰(D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d x y y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰11d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

13、已知→→b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→→x b a 则x = ( )（A ） -2 （B ） 2 （C ） -3 （D ）314、在空间直角坐标系中，方程组2221z x y y ⎧=+⎨=⎩代表的图形为( )（A ）抛物线 (B) 双曲线 （C ）圆 (D) 直线 15、设)arctan(y x z +=，则yz∂∂= （ ） (A) 22)(1)(sec y x y x +++ (B) 2)(11y x ++ （C ）2)(11y x ++- (D)2)(11y x +-16、二重积分⎰⎰1102),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ( )（A ）⎰⎰x dy y x f dx 010),( (B) ⎰⎰100),(2dy y x f dx y(C)⎰⎰110),(dy y x f dx (D) ⎰⎰2010),(x dy y x f dx17、若已知级数∑∞=1n nu收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是（ ）（A ）n S (B)n u (C) n n S ∞→lim (D) n n u ∞→lim18、设L 为圆周：2216x y +=，则曲线积分2LI xyds =⎰的值为（ ）（A ）1- (B) 2 （C ）1 (D) 0二、填空题 1、0011x y xy →→=+-2、二元函数 (23)z sin x y =+，则zx∂=∂ 3、积分σd eI y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为4、若→→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=⋅→→b a5、交换积分次序210(,)x dx f x y dy =⎰⎰6、级数111()23nn n ∞=+∑的和是 7、00x y →→=8、二元函数 (23)z sin x y =+，则zy∂=∂ 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰xxdy y x f dx 2),(110、设曲线L ： 222x y a+=，则(2sin 3cos )Lx y x ds +=⎰11、若级数11()nn u∞=+∑收敛，则lim n n u →∞=12、若22(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = 13、00x y →→=14、已知→→⊥b a 且 ),1,,0(),3,1,1(-==→→x b a 则x = 15、设),ln(33y x z +=则=)1,1(dz 16、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰y y dx y x f dy 2),(1017、,1s u n n =∑∞=级数∑∞=++11)(n n n u u 的和是则级数18、设L 为圆周：222R y x =+，则曲线积分sin LI x yds =⎰的值为三、解答题1、（本题满分12分）求曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。

2、（本题满分12分）计算二重积分⎰⎰Dyxdxdy e，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线2y x =和直线1y =围成的平面区域。

3、（本题满分12分）求函数2(234)u ln x y z =++的全微分du 。

4、（本题满分12分）证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。

5、（本题满分10分）用比较法判别级数∑∞=+1)12(n nn n 的敛散性。

6、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。

7、（本题满分12分）计算⎰⎰+=Dy x y xI d d )(22，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。

8、（本题满分12分）力{},,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x tL y t z t ⎧=⎪==⎨⎪=⎩ 移至(1,2,1)点，求力F 所做的功W 。

9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。

10、（本题满分10分）求级数11(1)n n n ∞=+∑的和。

11、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。

12、（本题满分12分）设）（22ln y xy x z ++=,求yzy x z x ∂∂⋅+∂∂⋅。

13、（本题满分12分）求22(1)d d Dx y x y --⎰⎰，其中D 是由y x =，0y =，221x y += 在第一象限内所围成的区域。

14、（本题满分12分）一质点沿曲线⎪⎩⎪⎨⎧===20t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力kj y i x F +-+=41所作的功W 。

15、（本题满分10分）判别级数11sin n n n ∞=∑ 的敛散性。

《高等数学（二）》期末复习题答案一、选择题1、A 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B 12、C 13、B 14、B 15、B 16、A 17、C 18、D二、填空题1、 2 ；2、2cos(23)x y + ；3、)1(4-e π； 4、 0 ；5116、3 27、 14-； 8、3cos(23)x y + ；9、⎰⎰y y dx y x f dy ),(10 ；10、 0 ；11、 -1 ； 12、xy 13、12-；14、 3 ；15、 3322dx dy + ； 16、⎰⎰x xdy y x f dx ),(10；17、12S u -；18、 0三、解答题1、（本题满分12分）解：设(,,)23zF x y z z e xy =-+-则2x F y = ，2y F x = ，1zz F e =- 对应的切平面法向量(1,2,0)(,,)x y z n F F F →=代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-= 或240x y +-= 2、（本题满分12分）解 ：2100xx yy yD e dxdy dy e dx =⎰⎰⎰⎰ 2100y x yye dy ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 10y (ye y )dy =-⎰1202y yy ye e ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦ 12= 3、（本题满分12分）解：因为22234u x x y z ∂=∂++ ， 23234u y x y z ∂=∂++ ，28234u z z x y z ∂=∂++u u u du dx dy dz x y z ∂∂∂=++∂∂∂ 所以222238234234234z du dx dy dz x y z x y z x y z =++++++++ 4、（本题满分12分）解：=∆-∆+=→∆x f x f f x x )0,0()0,0(lim)0,0(000lim 0=∆→∆xx 同理 0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。

=→=),(lim 02y x f x kx y 24242201lim k kx k x kx x x +=+⋅→ ),(lim 0y x f y x →→∴不存在 因此函数在（0，0）点不连续5、（本题满分10分）解： nn n n n n n )21()2()12(=<+ ，而 ∑∞=1)21(n n 是收敛的等比级数 ∴原级数收敛6、（本题满分12分）解：设222(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =对应的法向量(1,2,3)(,,)x y z n F F F →= 代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）则法线方程：123123x y z ---==7、（本题满分12分）解：⎰⎰⋅=πρρρθ20212d d I 421241=π⋅ρ 152=π 8、（本题满分12分）→→⋅=⎰s d F W L⎰+-=Lxdz ydy xdx ⎰+-=1224dt t tdt tdt 120(23)t t dt =-⎰ 65-= 9、（本题满分12分）x u sin yz '=，y u xz cos yz '= z u xy cos yz '=x y z du u dx u dy u dz '''∴=++ sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =++10、（本题满分10分） 解：111(1)1n n n n =-++111...1223(1)n S n n ∴=+++⨯⨯+ 11111(1)()...()2231n n =-+-++-+ 111n =-+ 1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞∴=-=+ 所以级数11(1)n n n ∞=+∑的和为111、（本题满分12分）解：设222(,,)14F x y z x y z =++- 则2x F x = ，2y F y = ，2z F z =对应的切平面法向量(1,2,3)(,,)x y z n F F F →= 代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0x y z -+-+-= 或23140x y z ++-= 12、（本题满分12分）解：因为222222y xy x y x y z y xy x y x x z +++=∂∂+++=∂∂； 所以 2222222=+++++=∂∂⋅+∂∂⋅yxy x y xy xy x y z y x z x 13、（本题满分12分）解：令cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩，则(,)0,014D πρϕϕρ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，所以1222400(1)(1)Dx y dxdy d d πϕρρρ--=-⎰⎰⎰⎰16π= 14、（本题满分12分）→→⋅=⎰sd F W Lydy dz =-+⎰1(2)t t dt=-+⎰ 10tdt =⎰12=15、（本题满分10分）解： 设1sinn u n n= 于是 1sinlim lim101n n n n u n→∞→∞==≠ 故u nn =∞∑1发散。