计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。

（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。

杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）。

（3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。

1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。

解：(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。

缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。

重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。

绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。

求鼓轮转过ϕ角时的角速度。

解：为一自由度理想约束系统。

取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。

鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理，有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。

绞车在主动轴上作用一不变的转动力矩P M 。

已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分别为和，传速比1J 2J 12/z z i =。

吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮的半径为R 。

设轴承的摩擦以及吊索的质量均可略去不计。

试求重物的加速度。

解：为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。

由运动学关系得212,v v i i RRωωω===系统的动能为22222211221221111()2222v T J J mv J i J mR Rωω=++=++ 22122d ()d v T J i J mR R=++v作用在系统上的力系的元功为1d d ()v W M t mgv t Mi mgR t d Rδω=−=−由动能定理的微分形式得2212()Mi mgR Ra J i J mR−=++匀质圆盘A 和B 的质量均为m ，半径均为R 。

重物的质量为，且知三角块的质量为C C m M ，绳的质量忽略不计。

圆盘A 在倾斜角为的斜面上作无滑动滚动，三角块放在光滑平面上，不计铰D B 及重物C 与三角块间的摩擦，求三角块的加速度。

D解：系统为二自由度系统。

取广义坐标x 和r x 如图示。

可用动能定理和动量守恒定理求解。

系统的动能为C()()()()()()22222222222211111+/22222111 +2cos +/2221122cos 22C r r r r r C C r T Mx m x x mx mR x R m x x xx mR x R M m m xm m x mxx αr α=+++⋅⋅+−⋅⋅=++++−&&&&&&&&&&&&&& ()()d 2d 2d d cos d cos C C r r r r T M m m xx m m x x mx x mx x αα=++++−−&&&&&&&& δd sin C r r W m gxt mg x d t α=−+&& 由得：d δT W =()()()22cos cos sin C C r r r r C r M m m xxm m x x mxx mx x m g mg αα++++−−=−+&&&&&&&&&&&&&x α0 系统在水平方向的动量守恒，即：()cos const.r C m xx mx m x Mx α−+++=&&&&& 即()2cos C r M m m x mx α++−=&&&& 联立求解得：()()()22cos sin 22cos C C C m m m x g m m m m M m ααα−=+++−&&匀质细杆OA 可绕水平轴O 转动，另一端有一匀质圆盘，圆盘可绕A 在铅直面内自由旋转，如图所示。

已知杆长l ，质量为；圆盘半径OA 1m R ，质量为。

摩擦不计，初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。

求杆与水平线成2m θ 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

解：以杆与圆盘为系统，在运动过程中，圆盘不受外力矩作用，保持平动。

设系统在θ角位置时杆的角速度为1ω，应用动能定理有211T T A →2−= （1）而()222211221213112326m l m m T m l ωωω1+=+=102l ，T =1212122g sin sin sin 22m m lA m m gl gl θθθ→+=+=于是1ω=对（1）式求导d δT W =可得：lm m g m m )62(cos )63(2121++=θε图示三棱柱体的质量为，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。

质量为的均质圆柱体O 由静止沿斜面ABC 1m 2m AB 向下滚动而不滑动。

如斜面的倾角为θ，求三棱柱体的加速度。

解：取三棱柱体的位移ABC x 及均质圆柱体O 距离A 端的相对位移r x 为广义坐标，参考例7-7直接写出系统的运动微分方程为xyx r()⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+0cos 0sin cos 2322122θθθr r x m x m m mg x m x m &&&&&&&&由此可以解得三棱柱体的加速度大小为：g m m m m xa θθ22212sin 232sin ++==&&两根长为l 、质量为的匀质杆与CB 用铰相连接，m AC C A 端为铰支座，B 端用铰与一匀质圆盘连接，圆盘半径为，质量为2，它在水平面上作无滑动的滚动。

当r m =30θ°时，此系统在重力作用下无初速开始运动，求此瞬时杆的角加速度。

ACDEω2θxymgmgG 解：系统具有一个自由度，取θ为广义坐标，有3cos 2E x l θ= 1sin 2E y l θ= 2cos B x l θ=2222221(8sin 1)4E E E v x y l θθ=+=+&&& 2sin B v l θθ=−& D 点为杆BC 的瞬心，故有BB v rω=系统中各构件的动能分别为2216AC T ml θ=& ()222221118sin 228CBE E T mv J ml ωθθ=+=+&43 2222112622B B B B T mv J ml 2sin ωθθ=+=& ()22217sin 3T ml θθ=+& ()22222d 14sin d 7sin 23T ml ml d θθθθθθ=++&&& δd d cos G E W mgyt mgy t mgl t d θθ=−−=−&&& 由得d δT W =()22cos 7sin 2214sin 3g l l θθθεθ+=−+&初始时刻有：0, 30θθ==o &ε=系统如图所示。

回转半径为ρ，半径为R ，重的均质滚轮，沿水平轨道作纯滚动，在半径为的轴颈上绕以刚度系数为的弹簧。

重物重，通过绕在滚轮上的绳子与滚轮相连。

假设不计滑轮O 的质量。

列写系统运动微分方程。

1P r kP解：根据题意，先求系统平衡时弹簧的初始伸长，以滚轮为研究对象，有0l 0()2kl R r P R 0+−×=则有02()PRl k R r =+以平衡位置为坐标原点，设重物在竖直方向位移为P x ，由质系动能定理，有()2222110011112222222P P P x x R r Px x k x l l g g g R R ρ⎡⎤+⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦&&&22＋＋ 化简上式得222211221111()02888P P P k R x x g g gR R ρ⎛⎞++++=⎜⎟⎝⎠&r 对上式求导得221122111()222888P P P k R r xx xx g g gR R ρ⎛⎞++++×=⎜⎟⎝⎠&&&&0= 化简得2221[(1/)4](1/)0P R P x kg r R x ρ++++&&此即运动微分方程。

均质杆AB 质量为，长度为m R l 2=，在半径为R 的圆槽内运动，圆槽质量为M ，放置在光滑的水平面上。

（1）写出系统在任意位置的动能与势能；（2）列写系统运动微分方程。

解：系统有两个自由度：圆槽中心的位置x 和均质杆的摆角ϕxy则系统的动能为222111222C C T Mx mv J ϕ=++&& （1）其中，均质杆质心的速度cos sin 22C e r xR x R ϕϕϕ=+=+⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠v v v i τi j &&&&ϕ （2）把（2）代入（1）得到系统的动能为22211()co 232T M m x mR mR x s ϕϕ=+++&&&&ϕ（3） 圆槽上表面为势能零点，系统势能为：cos 2V mgR ϕ=−（4） 系统只受保守力作用，总机械能守恒，从而有：222()(cos cos sin sin )32M m xx mR mR x x x g ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++−+=&&&&&&&&&&&&&&&0 （5） 系统水平方向受力为零，水平动量守恒，v 为均质杆的水平速率，则有()d 0d mv MxmvMx t+=+=&&&& （6）其中cos 2v R ϕϕx =+&& （7）将（6）、（7）代入（5），化简得到2sin sin 0ϕϕϕ⎧=&0=如图所示，原长为，刚度系数为的弹簧一端固定，另一端与质量为m 的质点相连。