2013年高考二轮专题复习之模型讲解
绳件、弹簧、杆件模型
［模型概述］
挂件问题是力学中极为常见的模型，其中绳件、弹簧件更是这一模型中的主要模具，相关试题在高考中一直连续不断。
它们间的共同之处是均不计重力，但是它们在许多方面有较大的差别。
模型绳杆弾簧捞板瞻变情况
微小形变可忽略长度几乎不变
可伸可缩板面几乎无变
化
施力与受力能施能受拉力能压能拉能压自级能压能洁
方向始终沿麵不一定沿杆沿弹簧方向
垂直于挡板面:大小变化1可突燮可突燮只能渐变:可突变
例1.如图1中a所示，一质量为m的物体系于长度分别为l i、丨2的两根细线上，l i的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为-,12水平拉直，物体处于平衡状态。
现将12线剪断，
图1
(1)下面是某同学对题的一种解法：
解：设l 1线上拉力为F T1, 12线上拉力为F T2，重力为
F T1 cos)- mg , F T1 sin)- F T2, F T2二mg ta
剪断线的瞬间，F T2突然消失，物体即在F T2反方向获得加速度。
因为mgtan^ - ma，所以加速度a =gtan^，方向沿F T2反方向。
你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。
mg物体在三力作用下保持平衡
（2）若将图a中的细线l i改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图b所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a =gtanv，你认为这个结果正确吗？请说明理由。
解析：因为12被剪断的瞬间，11上的张力发生突变，故物体获得的瞬间加速度由重力的分力提供，大小为g sin ，方向垂直11斜向下，所以（1）错。
因为12被剪断的瞬间，弹簧的长度不能发生突变而导致弹力不能突变，所以（2）对。
拓展：在（1）中若丨1、丨2皆为弹性绳，剪断1 2的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答
案a 二g ta n v ）
若11、丨2皆为弹性绳，剪断11的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案 a = g/cosv）在（2）中剪断11的瞬间，小球的加速度为多少？（参考答案 a = g）
例2.如图2所示，斜面与水平面间的夹角v - 30，物体A和B的质量分别为m A=10kg、m B = 5kg。
两者之间用质量可以不计的细绳相连。
求：
（1）如A和B对斜面的动摩擦因数分别为=0.6，J B=0.2时，两物体的加速度各为多大？绳的张力为多少？
（2）如果把A和B位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？
（3）如果斜面为光滑时，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？
解析：（1 ）设绳子的张力为F T，物体A和B沿斜面下滑的加速度分别为a A和a B，根据牛
顿第二定律：
对A有m A gsin ^ - F^ -A m A gco^ - m A a A
对 B 有m B gsi nr F T7B m B gcos v - m B a B
设F T =0，即假设绳子没有张力，联立求解得gcosdCf -」B)二a B-a A，因」A, 故a B:- a A
说明物体B运动比物体A的运动快，绳松弛，所以F T=0的假设成立。
故有
a A = g( si n…-A COST) = ~0196m/s2因而实际不符，贝V A 静止。
2
a B = g(sin v -」B cos" = 3.27m/ s
(2)如B与A互换则gcosr(」A -」B)二a B-a A・0,即B物运动得比A物快，所以A、
B 之间有拉力且共速，用整体法
m A gs i m B gis i - A im A g c Bns B g c 二o (m A s m B)a 代入数据求出
a = 0.96m/s2,用隔离法对B: m B gsin - 'B m B gco^ - F T = m B a 代入数据求出
F T =11.5N
(3)如斜面光滑摩擦不计，则A和B沿斜面的加速度均为a = g si n^ - 5m/ s2两物间无
作用力。
拓展：如A、B之间为轻杆，上面三问情况如何？
如A、B之间为轻质弹簧，试分析在上述三种情况下物体AB的运动情况？
例3.如图3所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为二、在斜杆下端固定有
质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是( )
图3
A.小车静止时，F =mgsin^，方向沿杆向上
B.小车静止时，F二mg COST，方向垂直杆向上
C.小车向右以加速度 a 运动时，一定有 F =ma/sinv
D.小车向左以加速度 a 运动时，F 二.(ma)2 (mg)2，方向斜向左上方，与竖直方向 的夹角为〉=arcta n(a/g)
解析：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球的 重力mg
只有当球的加速度
a =gtanr 且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有
F =ma/sin 二。
小车向左以加速度 a 运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力 mg 和杆对球 的作用力
F 的合力大小为 ma,方向水平向左。
根据力的合成知 F = . (ma)2 ■ (mg)2，方向 斜向左上方，与竖直方向的夹角为：
-arctan(a/g)
［模型演练］
1. 细绳拴一质量为 m 的小球，小球将固定在墙上的弹簧压缩，压缩距离为
B.小球加速度立即为 g
根据牛顿第二定律有：
F sin: = ma , F cos
： = mg ，两式相除得： tan ： = a / g 。
小车向右以加速度 a 运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为
:•，如图4所示,
x ，如图5所示,
A.小球做平抛运动
C.弹簧完全恢复原长后小球做匀速运动
D.小球落地时动能为mgh
答案：C
2.如图6所示，在动力小车上固定一直角硬杆ABC 分别系在水平直杆AB两端的轻弹簧和
细线将小球P悬吊起来。
轻弹簧的劲度系数为k，小球P的质量为m,当小车沿水平地面以加
速度a向右运动而达到稳定状态时，轻弹簧保持竖直，而细线与杆的竖直部分的夹角为二，试
求此时弹簧的形变量。
答案：F T sin - ma，F T cos ：F = mg，F = kx
x = m(g -a cot * / k，讨论：
①若a ::: g tan)则弹簧伸长x = m(g「a cot v) / k
②若a二g tan v则弹簧伸长x = 0
③若a g tanv则弹簧压缩x = m(a cot v - g) / k。