2 Δy f (2 x) f (2) 4x (x) 7x x 3 = x Δx x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0 同理可得 f (6) 5.
f (2)
和 f (6).
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中，平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态，需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢？
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢？
3.1.2 导数的概念
+ △t,2]这段时间内
h 2 h 2 t 4.9Δt 2 +13.1Δt v = -4.9Δt - 13.1 = 2 2 t -Δt
当△t=-0.01时， v =-13.051； 当△t=-0.001时，v =-13.0951； 当△t=-0.0001时， v =-13.09951； 当△t=-0.00001时， v =-13.099951；
或 y | x x0 , 即
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f (x0 Δx ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 ) 与x0 的值有关，不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
旧知回顾
平均变化率的定义 我们把式子
f x2 - f x1 x2 - x1
称为函数
f(x)从 x1 到 x 2 的平均变化 率 . （ average rate of change）
探究讨论：
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
65 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间的平均速度，思考 49 下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f ( x ) lim f (x0 Δx ) f ( x0 ) . 0 x 0 x
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: o C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
h v 13.1 4.9t t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v
当△t=-0.000001时， v =-13.0999951； …...
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 +Δ t - h 2 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 +Δ t - 2 -Δt
当△t=0.01时， v =-13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
求：从2s到(2+Δ t)s这段时间内平均速度
h h(2 t ) h(2) v 13.1 4.9t t t
△t<0时，在[2
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
f (x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
Байду номын сангаас
练习（第6页） 解：在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变 化率就是f′(3)和f′(5). 根据导数的定义： Δy f(3 +△x) - f(3) = = △x - 1 Δx △x Δy 所以，f(3)= ′ lim = -1 x→0Δ x 同理：f(5)= ′ 3 说明在第3h附近，原油的温度大约 以1℃/h的速率下降，原油温度以大约 以3℃/h的速率上升.