第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。

解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a) (b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

设q = 60kN/m ，F = 100kN 。

试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。

（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力MPa 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzMPa 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。

梁为圆截面，其直径d = 40 mm ，求梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力A F （↓）=B F （↑）kN 10203⨯= （2）画F S 、M 图M e =4.4kN ·m题9-3图（3）求最大正应力与最大切应力382MPa Pa 10381.97320.04π102.4633max max =⨯≈⨯⨯==zW M σ 21.2MPa Pa 1021.20.02π10203434623max max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=A F τS题9 - 4 空心管梁受载如图所示。

已知管的外径D = 60 mm ，内径d = 38mm ，管材的许用应力[σ] = 150MPa ，试校核此梁的强度（长度单位为mm ）。

解：（1）求支反力F SM题9-4图kN 510.F A =（↑） kN 59.F B =（↑）（2）画F S 、M 图（3）校核强度()()63306038107816330132060π132π54343.D d ...D W ===⨯=-⨯=-=-αα []σ≤=⨯≈⨯⨯==-MPa 5147Pa 104714710781106252653max max ....W M σz 满足强度要求。

题9- 5 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷如图所示，其许用应力[σ]=120MPa ，试校核其强度（长度单位为mm ）。

解：（1）求支反力kN 363.F A =（↑） kN 647.F B =（↑）题9-5图F SM 2.625m kN ⋅（2）画M 图（3）校核强度C 点：[]σ≤=⨯≈⨯⨯==63.4MPa Pa 1063.4320.06π101.344633max max zW M σ B 点：75.06045===D d α ()543101.450.751320.06π-⨯=-⨯=z W []σ≤=⨯≈⨯⨯==-62.1MPa Pa 1062.1101.45100.9653max max z W M σ 题9–6 一单梁桥式吊车如图所示，梁为№28b 工字钢制成，电葫芦和起重量总重F =30kN ，材料的许用正应力[σ]=140MPa ，许用切应力[τ]=100MPa ，试校核梁的强度。

解：（1）求支反力M0.9题9－6图15kN ==B A F F （↑）（2）画M 图 （当吊车在梁中间时有最大弯矩）（3）校核强度查表得：24m 1061-⨯=A 36m 10534-⨯=x W[]σ≤=⨯≈⨯⨯==-84.3MPa Pa 1084.27105341045663max max x W M σ []τ≤=⨯≈⨯⨯==- 4.9MPa Pa 104.9210611030643max max A F τS 题9 – 7 外伸梁受力如图所示.已知：F =20kN ，[σ]=160 MPa ，[τ]=90 MPa ，试选择工字钢的型号。

解：（1）求支反力5kN =A F （↓） 25kN =B F （↑）（2）画F S 、M 图题9-7图M（3）选择工字钢型号根据正应力强度选择工字钢的型号[]σ≤zW M max []33663max cm 125m 10125101601020=⨯=⨯⨯=≥-σM W z 查表得：№16的3cm 141=x W 24m 1013126-⨯=.A切应力强度校核[]τ≤=⨯≈⨯⨯==-7.7MPa Pa 107.71026.1311020643max max A F τS 选择№16工字钢。

题9– 8 一矩形截面梁如图所示。

已知：F = 2 kN ，横截面的高宽比h / b = 3；材料的许用应力[σ]= 8 MPa ，试选择横截面的尺寸。

解：（1）求支反力题9-8图MF S3kN 22323=⨯===F F F B A （↑） （2）画M 图（3）选择横截面的尺寸 []σσ≤==2maxmax max 6bh M W M z ∵3=bh， b h 3=代入上式 []σ96max 3M b ≥[]cm 7m 069010831042323633max =≈⨯⨯⨯⨯=≥.M b σcm 21733=⨯==b h题9 – 9 外伸梁受力如图所示，梁为T 形截面。

已知：[σ]= 160 MPa ，试确定截面尺寸a 。

解：（1）求支反力kN 340=A F （↑） kN 380=B F （↑） （2）画F S 、M 图题9 - 9图C（3）确定截面尺寸a ① C Z a a a a a a a a a a a Z C 95.1445345.05=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=② 截面对形心轴的惯性矩z I()422322336707495.14312452195.14125a a a a a a a a a a a I z =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=③ 确定截面尺寸a[]σ≤z I y M max max []σmax max yM I z ≥mm 221m 0212010160707369514510980363...a =≈⨯⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯≥题9 - 10 一受均布载荷的外伸梁，梁为№18工字钢制成，许用应力[σ]= 160 MPa ，F S3M试求许可载荷。

解：（1）求支反力 q q F F B A 51021=⨯==（↑） （2）画M 图q M M B A 2-== q q q M 5.25.2535=⨯-⨯=中（3）求许可载荷查表得:№18的36m 10185-⨯=x W[]σ≤xW M max[]x W q ⋅≤σ5.2 12kN/m 1184N/m 2.5101851016066≈=⨯⨯⨯≤-q 题9 – 11 简支梁受力如图所示，梁为№25a 槽钢制成，许用应力[σ] = 160 MPa ，试求题9 – 10 图在截面横放和竖放两种情况下的许用力偶M e 。

解：（1）求支反力5e A M F =（↑） 5eB M F =（↓） （2）画M 图（3）求许用力偶矩截面横放，查表得：36m 10630-⨯=.W y[]σ≤yW M max 6610160106.3053⨯≤⨯-e M m 8.16kN m 8160N 31030.610160566⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯≤-e M 截面竖放，查表得：36m 10270-⨯=x W题9-11图m 72kN m 72000N 31027010160566⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯≤-e M 题9 – 12 铸铁梁受力和截面尺寸如图所示。

已知：q = 10 kN/m ，F = 20 kN ，许用拉应力[σt ]= 40 MPa ，许用压应力[σc ]= 160 MPa变，将T 形截面倒置成为⊥形，是否合理？解：（1）求支反力∑=0BM01524=⨯+⨯⨯+⨯-F q FAkN 30412052104152=⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=F q F A （↑）∑=0yF02=+-⨯-B A F F q FkN 1030202102=-+⨯=-+⨯=A B F F q F （↑）（2）画M 图（3）强度校核题9-12图① 求形心c z 157.5mm 23152200302152003010020030==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=c z② 惯性矩z I()()462323m 10600.030.20.15750.215120.030.20.20.030.10.1575120.20.03-⨯≈⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=z I ③ 强度校核 A 截面：[]t σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1024.210600.07251020663max,max max ,zt t I y M σ []c σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1052.510600.15751020663max,max max ,z c c I y M σ B 截面：[]t σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1026.2510600.15751010663max,max max ,zt t I y M σ 满足强度要求。

载荷不变，将T 形截面倒置成为⊥形，不合理。

因为在A 截面上弯矩最大，此时，将使该截面处的拉应力变大。

而铸铁抗拉能力差。

题9 – 13 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。

试用积分法求各梁的转角方程和挠曲线方程，以及指定截面的转角和挠度。

（a ）求θB ，w B （b ）求θA ，w A(a)解：（1）取坐标轴如图，列弯矩方程()e M x M =(2) 建立微分方程并积分(a)(b)题9-13图qEI M xw e=22d d C EIx M x w θe +==d d （a ） D Cx EIx M w e ++=22（b ） （3）确定积分常数当0=x 时，00==w ,θ，代入（a ）、（b ）两式 0,0==D C∴ 转角方程 ()EIxM x e =θ （c ） 挠曲线方程 ()EIx M x w e 22= （d ）（4）求B B w ,θ将l x =代入（c ）（d ）得：EIl M e B =θ（ ） EIl M w e B 22= (↑)(b)解：（1）取坐标轴如图，列弯矩方程()22qx qlx x M +=(2) 建立微分方程并积分⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=21d d 222qx qlx EI xw ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==C qx qlx EI x w θ621d d 32 （a ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=D Cx qx qlx EI w 246143 （b ） （3）确定积分常数当l x =时，00==w ,θ，代入（a ）（b ）两式2411,3243ql D ql C =-= ∴ 转角方程 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=31621332ql qx qlx EI x θ （c ） 挠曲线方程 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=24113224614343ql x ql qx qlx EI x w （d ） （4）求A A w ,θ将0=x 代入（c ）（d ）得：EIql A 323-=θ（ ） EIql w A 24114= (↑)题9 – 14 用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，梁的弯曲刚度EI 为常数。