(ql 2 ) l ql3 B3 , 3EI 3EI ql 4 yC 3 16EI
w
B2
yC 2
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI (ql)l 3 48EI
yC 2
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 ql3 ql3 11ql3 B B1 B 2 B3 24EI 16EI 3EI 48EI
3Pa 3 2 EI1
7 Pa3 Pa3 3EI 2 3EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
积分二次：
1 4 EIy qx Cx D 24
（2）
1 3 由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C qL 6 1 4 x L, y 0 代入（2）得： D qL 8
代入（1）（2）得：
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D.
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积 分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；
Fab ( L a ) 6 LEI
x L 代入得：
B 2
xL
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 ymax 。
dy 由 0 求得 ymax 的位置值x。 dx
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
C 1 x a
Fab (a b) 0( a b) 3LEI
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁
解得：
yC yCF yCFN
Fl 25 [1 ] I 3EI 32(1 24 2 ) Al
在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即
3
yB yBF yBFN lBD
弯曲变形
本 章 结 束
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-2 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), y( x) 和 A , ymax 。 F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b L L
L
2、分段列出梁的弯矩方程
FAy
BC段 (a x L)
FBy
a
Fa使AB梁产生向上凸的变形。
查表得：
Fa
B
B
a
C
( Fa ) l B 3EI
yC 1 则
yC1 B a
Fa2l 3EI
+
B a
F C
( Fa ) l a 3EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 2）考虑BC段(AB段看作刚体) A lFa源自BB aC
yC 1
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
前提：起始截面上没有集中外力偶！
用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：
（1）建立坐标系 （2）分段写弯矩方程M(x) （3）分段建立挠度近似微分方程 分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二是抗弯刚度EI有变化。
（4）积分、确定积分常数
应用积分法时需要注意的问题
A
P qa M qa 2 2 C B
a
a
C
yB 2 yB3
qa 2 a 2 qa a qa 3 2 2 EI EI EI qa 4 yB3 C a EI
q A
（3）最后结果
B
a
C
a
yB yB1 yB 2 y B 3
41qa 4 24 EI
B B1 B 2
7qa 3 6 EI
例7-7 用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1
I2
A
a
I1
B
P
P
a
M Pa
C
Pa3 Pa a 2 5Pa3 yC1 yB1 3EI 2 2 EI 2 6 EI 2
解： （1）刚化 I1，则：
yC 2
C
I2
A
a
I1
Pa 2 Pa a 3Pa3 B a 2 EI EI a 2 EI 2 2 2
（2）刚化 I2，则：
B
a B
yC 1 yC 2
P C
yC 3
I2
A
a
I1
B
a
所以：
Pa3 3EI1
yC 3 yC yC1 yC 2 yC 3
m
律 2 m 3、根据梁的约束（支座情 况）、变形相容条件，绘 制挠曲轴的大致形状。
上凸
M 图
下凸
弯曲变形/用积分法求梁的变形 F
注意：
（1）正弯矩使梁下凸，负弯矩
a Fa (+) (-) 3F 拐点
a
a
使梁上凸；
（2）在转角为零处，挠度出现 极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在
M 图
AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
EI y1
Fb x, L
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L Fb EI y2 x F ( x a ), L
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI 1 EI 2 EI y1 x C1 , EI y2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
yCF Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 yC 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
yCFN
FN x 2 25Fl3 1 (3l x) ( )() I 6 EI 96 EI l x 1 24 2 2 Al
x 0, wA 0 （1） x a时，y1 y2
x L, yB 0
（3） （4）
（2）
由光滑连续条件： x a时，1 2 可解得：
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
弯曲变形/用积分法求梁的变形 则简支梁的转角方程和挠度方程为 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI Fb y1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI 4、求转角 BC段 (a x L)
材料力学
yC 2
所以
Fa3 3EI
Fa2l yc1 3EI
F
yC yC1 yC 2
C
A
B
a
yC 2
Fa2l Fa3 3EI 3EI Fa2 l a 3EI
例7-6 已知：q、EI,试求B截面的转角和挠度。 解： （1）将AC段刚化。
q A
a
C
a
q
C
B
qa 4 y B1 8EI
第七章 弯曲变形
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-1悬臂梁受力如图所示。求 解： 取参考坐标系Axy。
yA 和 A 。
y A q B x x
1、列出梁的弯矩方程
1 2 L (0 x L) M ( x) qx 2 2、 d 2 y M ( x) 1 2 EI y qx dx2 EI z 2 积分一次： 1 3 EI y EI qx C （1） 6
yC yC1 yC 2 yC3
5ql 4 (ql)l 3 11ql 4 ql4 384EI 48EI 16EI 384EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 例7-5 ： 怎样用叠加法确定yC ? F 1）考虑AB段(BC段看作刚体) A
B l F A l F作用在支座上，不产生变形。 C
1 1 4 qL3 qL4 y ( qx x ) EI 24 6 8
弯曲变形/用积分法求梁的变形 将 x 0 代入得：
qL3 A EI A C ） （与C比较知： 6 EI qL4 yA EIyA D ） （与D比较知： 8EI
因此 常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
弯矩最大处，挠度不一定 最大。
Fa
上凸
下凸
直线
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
例7-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
w
yC 1
w
yC 3
w
yC 2
w
yC 1
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 B1 , 24EI
5ql4 yC1 384EI
w
yC 3
Fb F ( x a) 2 2 2 2 2 ( x) [3x ( L b )] , 6 LEI 2