5.1 任意角和弧度制1、角的概念的推广（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）分类：⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合},|{Z k k S ∈+==360αββ。

终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2、弧度制的定义和公式（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０． （3）公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ )(π180弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23、有关角度与弧度的两个注意点（1）角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．知识梳理题型一 终边相同的角例 1 下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒ B ．153︒C ．207︒D ．387︒【答案】D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【分析】根据20195360219=⨯+可得答案. 【详解】因为20195360219=⨯+， 所以219与2019°终边相同. 故选：C. 巩固练习知识典例题型二 角度制与弧度制例2 （多选）下列转化结果正确的是（ ） A ．6730'化成弧度是38π B ．103π-化成角度是600- C ．150-化成弧度是76π- D ．12π化成角度是5【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确; 对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误; 对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD24︒=_________弧度；49π弧度=________.【答案】215π 80° 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad ππ==，可得2180241245ππ︒==⨯，441808099π=⨯=. 故答案为：215π，80. 巩固练习题型三 角的表示例 3 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-【答案】C 【解析】分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案． 详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为1 2.126ππ⨯=故选C ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．3π B ．6π C ．3π-D ．6π-【答案】A 【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π. 本题选择A 选项.题型四 象限角例 4 给出下列四个命题： ①34π-是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 巩固练习（多选）下列四个选项正确的有（ ） A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角 D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD 【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案. 【详解】对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角； 对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角. 故选：ABCD .题型五 轴线角例 5 设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【分析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】巩固练习根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.题型六 扇形面积求解例 6 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积.【解析】 由已知得α＝π3，R ＝10，∴S 扇形＝12α·R 2＝12×π3×102＝50π3(cm 2).已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 【答案】32π 巩固练习巩固练习先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π， 所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π.1、2020是第______象限角. 【答案】三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三．2、在区间[]4,2ππ--上，与角76π终边相同的角为__________． 【答案】176π- 【分析】根据与α终边相同的角可以表示为{}360,k k Z ββα=⋅+∈这一方法，即可得出结论． 【详解】 因为[]71744,266πππππ-=-∈--，所以与角76π终边相同的角为176π-. 3、已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号). 巩固提升利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④4、已知扇形AOB 的圆心3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为______.【答案】6π 【分析】用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解. 【详解】因为扇形AOB 的圆心3AOB π∠=，弧长为2πl r θ=，23r ππ∴=，6r ∴=1126622S lr ππ∴==⨯⨯=故答案为：6π5、若扇形的弧长为4，圆心角为2，则其半径为______. 【答案】2 【分析】利用扇形的弧长公式即可得出． 【详解】解：由弧长公式l r α=可得42r =，解得2r ．故答案为：2．6、已知扇形的圆心角为60°，其弧长为π，则此扇形的面积为_______；该弧所在的弓形面积为________.【答案】32π 64π- 【分析】设扇形的半径为r ，则60180r ππ=，解得：3r =，∴扇形的面积26033602r S ππ==.∴该弧所在的弓形面积31692224S ππ-'=-⨯⨯=.故答案为：32π. 7、（1）给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________. 【答案】② 120-︒ 【分析】（1）利用锐角、象限角、终边相同角的概念逐一判断即可得解．（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，根据任意角的定义即可得解； 【详解】解：（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈，故第一象限角可以为负角，故②错误； ③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误； 故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120︒，即转过的度数为120-︒ 故答案为：120-︒8、已知圆的半径为2，则5π的圆心角所对的弧长为______. 【答案】25π 【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解. 【详解】由弧长公式可得2255l r ππα==⨯=. 故答案为：25π9、若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________． 【答案】29719,,,510510ππππ10、在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． (2)所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.11、写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． 【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.12、已知扇形的圆心角是α，半径是R,弧长是l. （1）若60=α，R=10cm,求扇形的弧长l.（2）若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】（1）因为R=10cm,所以l=10=. （2）由已知得，l+2R=20,所以S=当R=5时，S取得最大值，此时l=10,（3）设弓形面积为，由题意知l=。