临界极值问题要点精析一、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题例2 如图3所示，质量为3m 的竖直圆环A的半径为r ，固定在质量为2m 的木板B 上，木板B 放在水平地面上，不能左右运动．在环的最低点静止放置一质量为m 的小球C ，给小球一水平向右的瞬时速度v 1，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不 会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足 ( )A ．最小值4grB ．最大值3grC ．最小值5grD ．最大值10gr解析 为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行受力分析，临界条件下是小球只受重力，由mg ＝m v 2r 知小球在最高点时的速度至少为v ＝gr从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得12m v 12＝12m v 2＋2mgr 小球在最低点时v 1＝5gr 所以小球在最低点时的瞬时速度至少为v 1min ＝5gr ，C 正确．如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对A 的弹力最多为F N ′＝5mg ，A 对小球的竖直向下的弹力最多为F N ＝F N ′＝5mg ，对小球在最高点进行受力分析可知F N＋mg ＝m v ′2r解得小球在最高点时的速度v ′＝6gr对小球由机械能守恒定律得12m v 1′2＝12m v ′2＋2mgr解得小球在最低点时v 1′＝10gr所以小球在最低点时的瞬时速度最大为v 1max ＝10gr ，D 正确．答案为C 、D[点评] 临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论，通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值．一、静摩擦力的范围引出的临界问题例1 如图1所示，倾角为α＝60°的斜面上，放一质量为1 kg 的物体，用k ＝100 N/m的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而超过这一范围，物体都会沿斜面滑动，若AP ＝22 cm ，AQ ＝8 cm ，试求轻质弹簧原长及物体与斜面间的最大静摩擦力的大小．(g 取10 m/s 2)解析 物体在临界位置Q 点，弹簧被压缩，压缩量为x ＝L －AQ ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向上；物体在临界位置P 点，弹簧被拉长，伸长量为x ，物块有上滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向下，受力图如图(b)．由上两图分别列出：F m ＝k (L －AQ )＋G sin 60° ①F m ＝k (AP －L )－G sin 60° ②解①②式得：L ＝⎝⎛⎭⎪⎫0.15－320 m ，代入①式得：F m ＝7 N.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0.15－320 m 7 N [点评] 由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩擦力向上达到最大值．针对训练1 如图2所示，位于斜面上的物体M 在沿斜面向上的力F 的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力 ( )(1)方向可能沿斜面向上 (2)方向可能沿斜面向下 (3)大小可能等于零 (4)大小可能等于FA ．仅(1)正确B ．仅(1)(3)正确C ．仅(2)(3)正确D ．全部正确解析 这是一个临界状态问题．由于物体静止，其所受合力应该为零，如图所示，除受重力Mg 、推力F 、支持力F N 外，物体是否受到静摩擦力取决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于Mg 沿斜面的分力与F 的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在，并且其方向向下，由平衡条件有F －Mg sin θ－F f ＝0即F f ＝F －Mg sin θ.于是有以下三种可能的临界状态：当F ＞Mg sin θ时，F f ＞0，方向沿斜面向下；当F ＝Mg sin θ时，F f ＝0，物体不受摩擦力；当Mg sin θ＝2F 时，F f ＝F ，方向沿斜面向上．(D)针对训练2 如图4所示，光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a ，b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是 ( )A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需的向心力大5mgB ．当v ＝5gR 时，小球b 在轨道最高点时对轨道无压力C ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg解析 小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b 所受重力充当向心力，mg ＝m v 02R ，v 0＝gR ，小球从最高点运动到最低点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12m v 02＝12m v 2，可得v ＝5gR ，B 项正确；小球在最低点时，F 向＝m v 2R ＝5mg ，最高点和最低点所需向心力的差为4mg ，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，所以小球通过最高点的最小速度可以为0，再由机械能守恒定律可知，2mgR ＝12m v ′2，解得v ′＝2gR ，C 项错；当v ≥5gR 时，小球在最低点所受的支持力F 1＝mg ＋m v 2R ，由最低点运动到最高点，2mgR ＋12m v 12＝12m v 2，设小球对轨道的压力为F 2则F 2＋mg ＝m v 12R ，解得F 2＝m v 2R －5mg ，F 1－F 2＝6mg ，可见小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg ，D 项正确．所以本题答案为B 、D.三、传送带上的临界速度问题例3 如图5所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度L ＝8 m ，传送带的皮带轮的半径R ＝0.2 m ，传送带的上部距地面的高度h ＝0.45 m ，现有一个旅行包(视为质点)以v 0＝10 m/s 的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.6.本题中g 取10 m/s 2.试讨论下列问题：(1)若传送带静止，旅行包滑到B 端时，人若没有及时取下，旅行包将从B 端滑落．则包的落地点距B 端的水平距离为多少？(2)设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为8 m ，旅行包滑上传送带的初速度恒为10 m/s.当皮带速度在什么范围内，旅行包落地点距B 端的水平距离始终为(1)中所求的水平距离？若皮带轮的角速度ω1＝40 rad/s ，旅行包落地点距B 端的水平距离又是多少？(3)设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，在图6中画出旅行包落地点距B 端的水平距离x 随皮带轮的速度v 变化的图象．图5 图6解析 (1)v ＝v 02－2aL ＝v 02－2μgL ＝2 m/s.包的落地点距B 端的水平距离为x ＝v t ＝v 2h g ＝2×2×0.4510 m ＝0.6 m.2)由(1)问得当传送带静止不动时，包到达B 点的速度为2 m/s.若传送带以2 m/s 的速度运动，则包恰好到达B 点时与传送带有共同速度，此时落地的水平距离仍为0.6 m ；若传送带的速度v 大于2 m/s ，则当包减速到v 时就和传送带一起运动，因速度大于2 m/s ，所以落地的水平距离大于0.6 m ．综上所述，当皮带的速度小于等于2 m/s 时，旅行包落地点距B 端的水平距离始终为0.6 m.当皮带轮ω＝40 rad/s 时，传送带v ＝rω＝8 m/s ，则旅行包速度减到8 m/s 后，就随传送带一起运动，所以旅行包抛出的速度为8 m/s ，x ＝v t ＝v 2h g ＝8×0.3＝2.4 m(3)当传送带的速度2 m/s ≤v ≤10 m/s 的范围内时，包落地前水平方向上的速度等于传送带的速度，落地点距B 端的水平距离x ＝v t .当传送带的速度大于10 m/s 后，旅行包加速直至与传送带有共同速度后再抛出，旅行包加速到B 点恰好与传送带有共同速度的临界速度为v ′，由v ′2－v 2＝2 μgL 得v ′＝14 m/s. 当传送带的速度大于14 m/s 后，旅行包到达B 点也没有加速到传送带的速度，包的速度总等于14 m/s ，平抛的水平距离x ＝v ′·t ＝14×2h g ＝4.2米．见图答案 (1)0.6 m (2)≤2 m/s 2.4 m (3)见解析[点评] 本题的难点是第(3)问，要画出旅行包落地点距B 端的水平距离x 随皮带轮的速度v 变化的图象，关键是找出x 与v 的函数关系，并确定在三段函数关系中间的两个临界点． 针对训练3 图7为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A 、B 两端相距3 m ，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ＝37°，C 、D 两端相距4.45 m ，B 、C 相距很近．水平部分AB 以5 m/s 的速率顺时针转动．将质量为10 kg 的一袋大米放在A 端，到达B 端后，速度大小不变地传到倾斜的CD 部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5.(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，可能用到数据7.2＝2.68 )(1)若CD 部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离；(2)若要使米袋能被送到D 端，求CD 部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C 端到D 端所用时间的取值范围．解析 (1)米袋在AB 上加速时的加速度a 0＝μmg m ＝μg ＝5 m/s 2米袋的速度达到v 0＝5 m/s 时，滑行的距离s 0＝v 022a 0＝2.5 m ＜AB ＝3 m 因此米袋在到达B 点之前就有了与传送带相同的速度设米袋在CD 上运动的加速度大小为a ，由牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma代入数据得a ＝10 m/s 2所以米袋沿传送带上升的最大距离s ＝v 022a ＝1.25 m.(2)设CD 部分运转速度为v 1时米袋恰能到达D 点(即米袋到达D 点时速度恰好为零)，则米袋速度减为v 1之前的加速度为a 1＝－g (sin θ＋μcos θ)＝－10 m/s 2米袋速度小于v 1至减为零前的加速度为a 2＝－g (sin θ－μcos θ)＝－2 m/s 2由v 12－v 022a 1＋0－v 122a 2＝4.45 m 解得v 1＝4 m/s ，即要把米袋送到D 点，传送带CD 部分的速度v CD ≥v 1＝4 m/s米袋恰能运到D 点所用时间最长为：t max ＝v 1－v 0a 1＋0－v 1a 2＝2.1 s 若CD 部分传送带的速度较大，使米袋沿CD 上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a 2由s CD ＝v 0t min ＋12a 2t min 2，得t min ＝1.16 s所以，米袋从C 端到D 端所用的时间t 的范围为1.16 s ≤t ≤2.1 s.答案 (1)1.25 m (2)v ≥4 m/s 1.16 s ≤t ≤2.1 s四、临界出射点问题例4 如图8所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad 边夹角为30°，大小为v 0的带电粒子．已知粒子质量为m ，电荷量为q ，ad 边长为l ，重力影响不计．(1)试求粒子能从ab 边射出磁场的v 0值；(2)在满足粒子从ab 边射出磁场的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间是多少？解析 (1)粒子在O 点处所受洛伦兹力的方向垂直于v 0，如图中OO ′方向，所以所有以不同速率入射的粒子运动的轨迹圆心都在OO ′上．①当速度较大且为v 1时，过M 点作cd 的垂线交OO ′于O 1点，则O 1为速度为v 1时的圆心，因为aO ＝l 2，∠aOO 1＝60°，所以OO 1＝l ，而O 1M ＝l ，所以O 1在ab 直线上，故能从ab 边界射出的粒子运动的最大半径R 1＝l ，其轨迹为圆中OMP 段．由q v B ＝m v 2R 知：v＝BqR m 代入得：v 1＝Bql m ②当速度较小且为v 2时，其轨迹为圆中OQI 段，圆心为O 2，Q 点为圆与ab 的切点，设半径为R 2，由几何关系知：R 2＋R 2cos 60°＝l 2，解得：R 2＝l 3又由半径公式q v B ＝m v 2R 知：v 2＝Bql 3m所以粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围为：Bql 3m ＜v 0≤Bql m(2)由t ＝θ2πT 知，t 仅与粒子在磁场中运动偏转的圆心角θ有关．从上面分析可知，当粒子轨迹半径R ＝R 2，即轨迹圆弧的圆心在O 2时，粒子偏转角度为θ＝2π－2π3＝43π，此时粒子在磁场中运动的时间最长，t ＝θ2πT ＝43π2π·2πm qB ＝4πm 3qB答案 (1)Bql 3m ＜v 0≤Bql m (2)4πm 3qB[点评] 确定粒子不从cd 边和ab 边射出的临界条件，画出大致的轨迹，再由几何关系确定各圆的半径，从而解出v 0的范围；运动时间由圆心角大小决定．针对训练4 如图9所示，带正电的粒子以水平速度v 0从平行金属板MN 间中线OO ′连续射入电场中．MN 板间接有如图10所示的随时间t 变化的电压u MN ，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场．紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B ，分界线为CD ，EF 为屏幕．金属板间距为d ，长度为l ，磁场B 的宽度为d .已知：B ＝5×10－3 T ，l ＝d ＝0.2 m ，每个带正电的粒子的速度v 0＝105 m/s ，比荷为q /m ＝108 C/kg ，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为是恒定不变的．试求：图9 图10(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；(2)带电粒子射出电场时的最大速度；(3)带电粒子打在屏幕EF 上的范围．解析 (1)t ＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小．粒子在磁场中运动时有q v 0B ＝m v 02r min ，则带 电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径r min ＝m v 0qB ＝105108×5×10－3m ＝0.2 m 其运动的径迹如图中曲线 Ⅰ 所示．(2)设两板间电压为U 1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有d 2＝12at 2＝12·U 1q dm (l v 0)2，代入数据解得U 1＝100 V在电压低于100 V 时，带电粒子能从两板间射出电场，电压高于100 V 时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出．带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v max ，则有12m v max 2＝12m v 02＋q ·U 12解得v max ＝2×105 m/s ＝1.414×105 m/s.(3)由第(1)问可知，t ＝0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径r min ＝d ＝0.2 m ，径迹恰与屏幕相切，设切点为G ，G 为带电粒子打在屏幕上的最高点，则O ′G ＝r min ＝0.2 m带电粒子射出电场时的速度最大，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低．设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为r max ，打在屏幕上的位置为H ，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示，有q v max B ＝m v max 2r max则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径r max ＝m v max qB ＝2×105108×5×10－3m ＝2/5 m 由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q 点所示，并且Q 点必与M 板在同一水平线上，则O ′Q ＝d 2＝0.22 m ＝0.1 m带电粒子打在屏幕EF 上的范围为GH ＝r min ＋(r max －O ′Q )＝(0.2＋0.22－0.1) m ＝0.38 m.答案 (1)0.2 m (2)1.414×105 m/s (3)结合轨迹图，GH ＝0.38 m 范围内五、某物理量取极值求解临界问题例5 如图11所示，一轻绳一端固定在O 点，另一端拴着一个小球，提起小球使细绳水平，然后无初速度释放小球．问：小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率变化情况是()A．一直增大B．一直减小C．先增大，后减小D．先减小，后增大解析在最高点时，因为v＝0，因此P＝0，小球在最低点时，v达到最大，但因其方向与轻绳的方向垂直，在该点时，速度v的方向也垂直于重力mg的方向，故P也等于0.在运动中，小球在竖直方向的速度分量不为0，则P不为0，故其变化情况只能是先增大，后减小，答案为C.[点评]在做选择题时，有时对结果的得出，不需要很严密的计算，只要能够大致地了解并弄清楚其结果的一种范围或变化趋势就行了，极限思维法常常是一种优选方法．用极限思维法解题最关键是准确、迅速地选出参变量．其一般原则是：(1)被选参变量存在极值，否则不能选；(2)当赋予该参变量某一特定值后，不改变题目所给的物理过程或状态，否则不能选．应用这种方法的常见情况有三种：极端值假设、临界值分析、特殊值分析．本题还可以进一步定量讨论小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？同学们可尝试解答．针对训练5如图12所示，一根轻弹簧上端固定，下端挂一个质量为m0的平盘，盘中有一质量为m的物体，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了l.今向下拉盘使弹簧再伸长Δl后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度之内，则刚松手时盘对物体的支持力等于()A．(1＋Δll) mg B．(1＋Δll)(m＋m0) gC.Δll mg D.Δll(m＋m0)g解析本题的解法实际上是假想一个特例(一般是极限情况)来对答案进行检验而得出结论．这里，如果不进行这样的假设则需根据胡克定律和牛顿定律列方程求解，较之极限分析法则繁难多了．假设题给条件中Δl＝0，其意义是没有将盘往下拉，则松手放开，弹簧的长度不会变化，盘仍静止，盘对物体的支持力大小应为mg，以Δl ＝0代入四个选项中，只有选项A能得到mg，可见A正确．。