（2）前 3s 内的位移大小为
x3 x0 4 1 3 （m）
（3）因为质点做反向运动时有 vt 0 ，所以令 3s 内经过的路程为
dx 0 ，即 4 2t 0 ， t 2 s，因此前 dt
x3 x2 x2 x0 4 5 5 1 5 （m）
练习题一解答 1-2 某质点作直线运动，其运动方程为 x 1 4t t 2 ，其中 x 以 m 计，t 以 s 计。求：
（1）第 3s 末质点的位置； （2）前 3s 内的位移大小； （3）前 3s 内经过的路程。 解 （1）第 3s 末质点的位置为
x3 1 4 3 3 2 4 （m）
其中 R、 、v0 均为常数，试求质点的运动方程及轨迹方程。 解：由 v
dr ，可得 dt
dr vdt
将上式对 t 积分得
r t r 0 v t dt v 0 cos ti sin tj dt

t
0

t
0

所以
v0

sin ti cos tj
（3）由位置矢量求导可得质点的速度为
题 1-3 图
v
所以 1s 末和 2s 末质点的速度分别为
dr 2i 2t j dt
v 1 2i 2 j （m·s-1）和 v 2 2i 4 j （m·s-1）
（4）由速度求导可得质点的加速度为
a
所以 1s 末和 2s 末质点的加速度为
dv 2 j dt
a1 a2 2 j （m·s-2）
（5）据题意有
r a 2(2 t 2 ) 0
解得
t 2 （s），
t 2 (舍去)
1-5 已知质点的初始位置矢量和速度矢量为
r 0 Rj ， v t v0 costi sin tj

2 1 28.0 4.0 12.0 （ rad s 2 ） t t 2 t1 4.0 2.0
（2） t 2.0 s 时的速度大小
v R 4.0 0.2 0.8 （ m s 1 ）
角加速度 切向加速度大小为

d 6.0t 6.0 6.0 2.0 6.0 6.0 （ rad s 2 ） dt
v v0 e kt
dx v0 e kt ，得 dt
dx v 0 e kt dt
再次将上式积分

得
x
x0
dx
ve
0 0
t
kt
dt
x x0
v0 1 e kt k


1-9 已知质点沿半径 R 0.2 m 的轨道做圆周运动，其角位置随时间变化关系为 （1） t 2.0 s 到 t 4.0 s 这 t 3 3.0t 2 4.0t ，式中 的单位是 rad，t 的单位是 s，试求： 段时间内的平均角加速度？（2） t 2.0 s 时，质点的加速度为多少？ 解 （1）由题意知 t 3 3.0t 2 4.0t 所以
at R 0.2 6.0 1.2 （ m s 2 ）
法向加速度大小为 加速度大小为
v 2 0.64 an 3.2 （ m s 2 ） R 0.2
2 a at2 an 3.22 1.22 3.42 （ m s 2 ）
1-10 一质点从静止出发沿半径为 R 1 m 的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律 是 12t 2 6t （ rad s 2 ） ，试求该质点的角速度 和切向加速度 a 。 解 所以 积分上式有 故质点的角速度为 因为
t 0
v0
sin ti 1 cos t j
r t
运动方程为
v0Βιβλιοθήκη v v sin ti 0 0 cost R j
v0 v0
x
v0

sin t ， y

R

cost
将上两式中消去 t 得质点轨迹方程为
v v x yR 0 0
2
2
2
1-8 一质点沿 x 轴运动，其加速度与速度成正比，方向与运动方向相反，即 a kv ， 初始位置、初速度分别为 x0、v0，试求质点位移随时间变化的关系式。 解 由题意知
a
分离变量后做定积分
dv kv dt

得 即 利用 v
v
v0
t dv kdt 0 v

ln v kt
y2
运动轨迹如图 1-2
x2 （x＞0） 4
y
(0,2)
（2）根据题意可得质点的位置矢量为
r 2t i 2 t 2 j
所以 t 1 s 到 t 2 s 这段时间内质点的平均速度为


o
(2 2 ,0)
x
r r 2 r 1 v 2i 3 j （m·s-1） t 2 1

d 12t 2 6t dt
d 12t 2 6t dt


d 12t

t 0 0
2
6t dt

4t 3 3t 2 （ rad s 1 ）
切向加速度为
at R 12t 2 6t （ m s 2 ）

d 3t 2 6.0t 4.0 dt
当 t 2.0 s 时 当 t 4.0 s 时 于是
1 3 2.0 2 6.0 2.0 4.0 4.0 （ rad s 1 ）
2 3 4.0 2 6.0 4.0 4.0 28.0 （ rad s 1 ）
1-3 已知某质点的运动方程为 x 2t ， y 2 t 2 ，式中 t 以 s 计，x 和 y 以 m 计。试求：
（1）质点的运动轨迹并图示； （2） t 1 s 到 t 2 s 这段时间内质点的平均速度； （3）1s 末 和 2s 末质点的速度； （4）1s 末和 2s 末质点的加速度； （5）在什么时刻，质点的位置矢量与 其加速度矢量恰好垂直？ 解 （1）由质点运动方程 x 2t ， y 2 t 2 ，消去 t 得质点的运动轨迹为