中考数学圆的辅助线
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距
在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，
且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 =
进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD AB ( BD ， ( CD (
D C
A 图 1 AC ( AC (
BD
( AB ( CD (
=> OE=OF
∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF
0OP=OP
=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD
分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证
∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个
三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线
即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP
∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP
AC=BD
=>AP=DP
OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD
OP=OP D C
A 图1-1
2.有直径，可作直径上的圆周角
对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，
以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D
作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。
求证 DM ⊥AC 。
分析：由AB 是直径，很自然想到其所
对的圆周角是直角。
于是可连结AD ，得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM ⊥AC 。
证明 连结AD 。
AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt ∠
AB=AC
DM 切⊙O 于D => ∠ADM=∠B
=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt ∠ => DM ⊥AC
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦
例3 如图3,AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，DC 切⊙O 于C 点。
求∠A 的度数。
分析：由过切点的半径垂直于切线，
B D
C
图 2 =>∠1=∠2
于是可作辅助线即半径OC，得Rt△，
再由解直角三角形可得∠COB的度数，
从而可求∠A的度数。
解：连结OC。
DC切⊙O于C =>∠OCD=90°
OC=OB=BD
=> ∠A=1/2∠COB=30°
说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。
例4 如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，
圆O过A、D两点，且与BC切于D点。
求证 EF两圆相切，可作公切线或连心线
例
O1与⊙
O2外切
于点P O1
与
⊙O2
PB•PC=PA•PD。
分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，
B
图 4
=> COS∠COD=OC/OD=1/2 =>∠COB=60°
D
A
图 3
由此可作辅助线AC 、BD ，并证AC 证明 补全⊙O ，延长AD 交⊙O 于H ， 直径BC ⊥AD => = => = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE 说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径
例10 如图10，⊙O 1与⊙O 2相交于
A 、
B 两点，且O 2在⊙O 1上，点P 在⊙O 1上，
点Q 在⊙O 2上，若∠APB=40°，求∠AQB 的度数。
分析 连结O 2A 、O 2B ，在⊙O 1中利用
圆内接四边形性质求得∠AO 2B=140°，在⊙O 2中，
∠AQB=1/2∠AO 2B=70°。
证明过程略。
说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。
几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，BA ( AF ( BA ( BH ( ( AF ( BH ( P A Q B O O 1 .图 10 F A B D O .H E C 图 9 C D E N G A B O O F 图 8 T B A O O 图 6 A C N B D M P O O 图 5 => ∠C=∠D => O 2O 1必过切点T => ∠1= ∠2 => O 1A// O 2B BA ( BH ( AF ， ( BH ( BA= AF ， ( F E B C A O O 2 .图 7 D
也是解题的重要手段。
学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。
因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。