圆中常见辅助线的作法1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( )A.15°B.18°C.20°D.28°2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( )A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A.10B.8C.5D.34.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( )A.2 5B. 5C.213D.135.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )A．10 B．8 C．5 D．36. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( )A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．458. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( )A．3 B．4 C．3 2 D．429.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ .11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .12. 如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为52，CD ＝4，则弦AC 的长为 .13. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD,垂足是E,连接BC,若AB=c22cm, ∠BCD=22°30’，则⊙O 的半径为 cm.14. 如图所示，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上四点，∠ABD ＝20°，BD 是直径，则∠ACB ＝____．15. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB ＝8，则图中阴影部分的面积是____．(结果保留π)16. 如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为 cm.17. 如图所示，在△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小；(2)求点A到直线BC的距离．18. 如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F.已知∠AEF＝135°.(1)求证：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长.19. 已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.(1)求证：AG与⊙O相切；(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长.20. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．21. 如图所示，已知MN 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于P 点，NP 平分∠MNQ.(1) 求证：NQ ⊥PQ(2) 若⊙O 的半径R=3，NP=33，求NQ 的长.22. 如图所示，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，O 为AB 的中点.(1)求证：∠B ＝∠ACD ；(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE ； ①若tan ∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；②试判定CD 与以A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由.23. 如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点.(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.24. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O 于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长.参考答案:1---8 BACAC CDC9. 3 210. 50°11. 40°12. 4513. 214. 70° 15. 16π 16. 50 17.解：(1)连接BD ，∵以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∴∠BDC ＝90°.∵D 是AC 的中点，∴BD 是AC 的垂直平分线．∴AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C.∵∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝30°，即∠ACB ＝30°. (2)过点A 作AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，∵BC ＝3，∠ACB ＝30°，∠BDC ＝90°，∴BD ＝32.在Rt △BCD 中，由勾股定理可得CD ＝BC 2－BD 2＝332.∵AD ＝CD ，∴AC ＝3 3.∵在Rt △AEC 中，∠ACE ＝30°，∴AE ＝12AC ＝12×33＝332，即点A 到直线BC 的距离为332.18. 解：(1)如图，连接OF ，∵DF 切半圆O 于点F ，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE 为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB；(2)如图，连接OE ，∵BF＝22，∠FOB＝90°.在Rt△BOF 中，由勾股定理，得OB 2＋OF 2＝BF 2,2OB 2＝(22)2，解得OB ＝2.∴OB＝OF ＝OE ＝2.∵OC＝CE ，CE⊥AB，在Rt △OCE 中，由勾股定理，得CE 2＋OC 2＝OE 2,2CE 2＝22，∴CE ＝ 2.∵DC ∥OF ，DF ∥AB ，∴DC ＝OF ＝2.∴DE ＝DC －CE ＝2－ 2.19. (1) 证明：如图，连接OA.∵OA＝OB ，∴∠B＝∠BAO.又∵EF⊥BC，∴∠BFE ＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°.∵GA＝GE ，∴∠GAE＝∠GEA.∵∠GEA＝∠BEF，∴∠GAE＝∠BEF，∴∠BAO＋∠GAE＝∠B＋∠BEF＝90°，∴GA⊥AO.又∵OA 为⊙O 的半径，∴AG 与⊙O 相切；(2) 解：如图，过点O 作OH⊥AB，垂足为H.由垂径定理，得BH ＝AH ＝12AB ＝12×8＝4.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝8，AC ＝6，∴BC＝82＋62＝10，∴OB＝5，OH ＝3.又∵BH＝4，BE ＝3，∴EH＝1， ∴OE＝32＋12＝10.20.解(1)：如图，连接OD ，∵DE 为过点D 的⊙O 的切线，∴OD ⊥DE 于点D ，∠ODE ＝90°.又∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，∴DO为△ABC 中位线且OD 綊12AC.∴∠DEA ＋∠ODE ＝180°，∴∠DEA ＝90°，∴DE ⊥AC. (2)连接AD ，则∠ADB ＝90°＝∠ADC.又∵BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADC ，∴AB ＝AC.在Rt △ADC 中，∠ADE ＋∠EDC ＝90°，在Rt △DEC 中，∠EDC ＋∠C ＝90° ，∴∠C ＝∠EDA ，又∠AED ＝∠DEC ＝90°，∴△ADE ∽△DCE.∴AE DE ＝DE EC，∴ED 2＝AE·EC ＝EC·(AC －EC )＝EC·(AB －EC )．又AB ＝3DE ，∴DE 2－3DE·EC ＋EC 2＝0，解得DE ＝3±52EC ，∴tan ∠ACB ＝DE EC ＝3±5221.解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ 与⊙O 相切于P 点，MN 是⊙O的直径，∴OP ⊥PQ.又∵NP 平分∠MNQ ，∴∠MNP ＝∠QNP.又∠OPN ＝∠MNP ＝∠QNP ，∴OP ∥NQ ，∴NQ ⊥PQ. (2)连接MP ，在Rt △MNP 中，∵MN ＝2R ＝6，NP ＝33，∴MP ＝MN 2－PN 2＝3，则∠MNP ＝30°，∴∠QNP ＝30°，∴PQ ＝332，故NQ ＝PN 2－PQ 2＝9222. 解：(1)∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD ＝∠OCB，又∵点O 是AB 的中点，∴OC＝OB ，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B；(2)①∵BC 2＝AB·BE，∴BC AB ＝BE BC ，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan ∠B ＝34，设BE ＝4x ，CE ＝3x ，由勾股定理可知：BE 2＋CE 2＝BC 2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x ＝25，∴CE ＝65；②过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵∠CEB ＝90°，∴∠B ＋∠ECB ＝90°，∵∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠B ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠ACE ， ∴CA 平分∠DCE ，∵AF ⊥CD ，AE ⊥CE ，∴AF ＝AE ，∴直线CD 与⊙A 相切.23. 解：(1)证明：连接AD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC ， ∴AB＝BC ＝AC.∴△ABC 为等边三角形；(2)连接BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC ，即E 为AC 的中点.∵D 是BC 的中点，故DE 为△ABC 的中位线， ∴DE＝12AB ＝12×2＝1； (3)存在点P 使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD ＝ED ，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED ＝120°.∵∠ABC ＝60°，∴∠PBD ＝120°，∴∠PBD ＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB ＝AE ＝1.24. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH， ∴BD 平分∠ABH；(2)过点O 作OG⊥BC 于点G ，则BG ＝CG ＝4.在Rt △OBG 中，OG ＝OB 2－BG 2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC 的距离为2 5.25. 解：(1)连接OC ，如图所示：∵BD 是⊙O 的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E 是BD 中点，∴CE＝12BD ＝BE ，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A， ∵OA＝OC ，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE＋∠BCO＝90°， 即∠OCE＝90°，CE⊥OC，∴CE 是⊙O 的切线；(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25，∵tanA＝BD AB ＝BC AC ＝24＝12，∴BD ＝12AB ＝5，∴CE ＝12BD ＝52.。