江苏高三上学期期末数学试题分类之应用题精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-十、应用题（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点思 想 方 法 2018·南通泰州期末·18解 答直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018·无锡期末·17 解 答2018·镇江期末·17 解 答 2018·扬州期末·17 解 答 2018·常州期末·17 解 答 2018·南京盐城期末·17 解 答 2018·苏州期末·17 解 答 2018·苏北四市期末·17 解 答（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）【答案】【解】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）直线PB 的方程为2y x ，半圆O 的方程为22240x y +=(0)y ≥，由2222,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩得165y =. 所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+80cos 40sin sin 2θθθ-=+.直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ-+=--， 令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以，EF 的长度为()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=. 81600(4)t t=+-1600(284)≥-6400(21)=-.当且仅当22t =，即sin 222θ=-时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为26400(21)m -. 答：当sin 222θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.2.（2018·无锡期末·17）如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3CAP πθ∠=-，所以3CP πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度()1cos 3f πθθθ=-+-cos 13πθθ=--++，03πθ<<，因为当03πθ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，所以()f θ在(0,)3π上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >，则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03πθ<<，'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6πθ=， 当06πθ<<时，'()0g θ<，当63ππθ<<时，'()0g θ>.所以，当6πθ=时，()g θ最小.答：当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.3.（2018·镇江期末·17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围； （2）问 AD 段多长时， S 最小？【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD ADππαα==-，所以331,2sin 2sin 2BD AD ααα==+， 则3cos 13cos 13()2[1()]4()22S a a ααα=+-++433cos 3)2a α-=+，由题意得2(,)33ππα∈（2）令214cos 30sin S a αα-'==，设01cos 4α= α0(,)3πα0α02()3πα，cos α11(,)421411[,)24- S ' － 0 ＋ S单调递减极大值单调递增所以当1cos 4α=时，S 最小， 此时153cos 155sin 2AD αα+===答：（1）S 关于 的函数表达式为433cos 3()2S a α-=+，且2(,)33ππα∈；（2）当5510AD +=时S 最小. 4.（2018·扬州期末·17）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。

经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即∠POQ ）为32π、半径为1千米。

为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S 。

设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： (2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.【答案】解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RTOSN 中，∠NOS=23πα-，所以SN=2tan()3πα-， 所以223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=- .………4分 其中62ππα<<..………6分⑵ 因为62ππα<<10α->，令10tα=->，则tan (1)3t α=+，所以4(2)3MNt t=++， . .………8分由基本不等式得2)3MN ≥⋅=， ………10分 当且仅当4t t=即2t =时取“=” . .………12分此时tan α=62ππα<<，故3πα=. . .………13分答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为 .. .………14分注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分5.（2018·常州期末·17）已知小明（如图中AB 所示）身高米，路灯OM 高米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．【答案】解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为332（米）．6.（2018·南京盐城期末·17）.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？（第17C B E FOE F M【答案】解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin1203323R R ππ=-︒=-. ……………4 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=16433π-.答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为16433π-立方分米. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(3)323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(23)(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分 x (0,2)2(2,3)()f x ' ＋ 0 － ()f x增极大值减A B EG FOM N H T答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分7.（2018·苏州期末·17）如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤，其中锐角α的正切值为12）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =，则5050cos(90)sin AP θθ==︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-． ················································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-， ················· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-． ··························· 8分 函数()f θ的定义域为(,]2απ，其中锐角α的正切值为12.（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2θαπ∈，A2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=，························ 10分 设θ0(0,)2π，使01cos 3θ=θ 0(,)αθθ0 0(,)2θπ ()f θ' - 0 + ()f θ 减函数 极小值 增函数 ························································································ 12分 所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =0050cos 252sin 2θθ=≈ km ， 答：在BC 上选择距离B 为 km 处为登陆点，所用时间最少． ······· 14分 （注：结果保留根号，不扣分）8.（2018·苏北四市期末·17）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．【答案】（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分A BC OA B C O θ 图1 图2 （第17 DθA BCOE（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x 在x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， (11)分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为．…………14分。