2008～2019年江苏高考数学分类汇编
数列
2010-23 已知△ABC 的三边长都是有理数．
(1)求证cosA 是有理数；
（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．
【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问
题、解决问题的能力．
（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,a b c ，222
cos 2b c a A bc
+-=，
∵,,a b c 是有理数，
222b c a +-是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理 数集对于除法的具有封闭性，
∴2222b c a bc
+-必为有理数，∴cosA 是有理数．
（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数；
当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cosA 是有理数，
∴cos2A 也是有理数；
②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，
即coskA 、cos(1)k A -均是有理数．
当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，
1
cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+，
11
cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22
k A kA A k A k A +=--++，
解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=-- ∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数， ∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数， ∴cos(1)k A +是有理数．
即当1n k =+时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数．
（方法二）证明：（1）由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知
222
cos 2AB AC BC A AB AC
+-=
⋅是有理数． （2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ⋅都是有理数．
①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，
从而有2
sin sin 1cos A A A ⋅=-也是有理数．
②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA ⋅都是有理数． 当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=⋅-⋅， sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA ⋅+=⋅⋅+⋅
(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =⋅⋅+⋅⋅
由①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ⋅+都是有理数． 即当1n k =+时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数．
2013-23 设数列{}n a ：1
11,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k k --------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅644474448
个
，，
即当
(1)(1)()22
k k k k n k N *-+<≤∈时，
记1(1)k n a k -=-.记12()n n S a a a n N *
=++⋅⋅⋅+∈. 对于l N *∈，定义集合{|l n p n S =是n a 的整数倍，n N *∈，且1}n l ≤≤. （1）求集合11p 中元素的个数； （2）求集合2000p 中元素的个数．
【解析】
2014-23 已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=
>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2
22
f f ππ
π
+
的值； （2）证明：对任意*
n N ∈，等式12
()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
都成立
2015-23 已知集合{}3,2,1=X ，{
})(,,3,2,1*
N n n Y n ∈=Λ，{
,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．
2018-23 设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列
231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的
所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求的值；
（2）求的表达式(用n表示)．
【分析】（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素
的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，
再根据叠加法求得结果.
【详解】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4
在新排列中的位置只能是最后三个位置．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，
所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到
的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原
排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时，．
【点睛】探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是
求数列通项公式的一个有效的方法.
【答案】（1）2 5
（2）n≥5时，。