广东省珠海市届高三摸底考试题目数学理广东省珠海市 2011年9月高三摸底考试数 学 试 题（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N = （ ）A ．∅B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,2,0,1,2}--2．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（ ）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b3．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x ⋅-一定是偶函数；③()()0f x f x ⋅-≥；④()|()|0f x f x -+=，其中错误的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．4个D ．0个4．如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是 A ．24 B ．12C ．8D ．45．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 （ ） A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”6．某种动物繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为3log (1)y a x =+,设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到（ ）A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只7．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的方程是（ ）A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=8．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 9．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则7a 的值为__ __．10．已知双曲线的中心在原点,若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是 ．11．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为1214A A A ，，…，．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ．12．ABC ∆中，A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2a c ==，2AB BC ⋅=-，则b = ．13．科网0x >，0y >，123x y +=，则11x y +的最小值是 ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()M ρθ，关于极点的对称点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲选做题）ABC ∆中，045A ∠=，030B ∠=，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，则 CEF ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知：(cos sin )A x x ，，其中02x π≤<，(11)B ，，OA OB OC +=，2()||f x OC =．（Ⅰ）求()f x 的对称轴和对称中心； （Ⅱ）求()f x 的单增区间．17．（本小题满分12分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数ix10 15 20 25 30 35 40件数iy 4 7 12 15 20 23 27其中1234567i=，，，，，，．（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；（Ⅱ）求回归直线方程；（结果保留到小数点后两位）（参考数据：7i=13245 i ix y=∑，25x=，15.43y=，7215075iix==∑，27()4375x=，72695x y=）（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）18．（本小题满分14分）如图，PAD∆为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，2AB=，E F G、、分别为PA、BC、PD中点，PC与底面ABCD成045角．（Ⅰ）求证：AG EF ⊥ （Ⅱ）求二面角P DF A --的正切．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中,设点1(,0)2F ,直线l :12x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥． （I ）求动点Q 的轨迹的方程C ；（II ）设圆M 过)0 , 1(A ,且圆心M 在曲线C 上, 设圆M 过)0 , 1(A ,且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长TS 是否为定值？请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数2()ln(2)f x x k x =++，其中0k ≠ （Ⅰ）当2k >判断()f x 在(2)-+∞，上的单调性．（Ⅱ）讨论 ()f x 的极值点．21．（本小题满分14分）已知定义在(11)-，上的奇函数()f x 满足1()12f =，且对任意(11)x y ∈-、，有()()()1x yf x f y f xy--=-． （Ⅰ）判断()f x 在(11)-，上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令112x =，1221n n n x x x +=+，求数列{()}n f x 的通项公式．（Ⅲ）设n T 为21{}()n n f x -的前n 项和，若632n mT -<对*n N ∈恒成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1—5 BDBBC 6—8 ADB二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．14 10．22136x y -= 11．10 12．2 13．9+ 14．()ρπθ+， 15．030 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：（Ⅰ）．由题设知，(cos sin )OA x x =，，………………………………………………２分 (11)OB =，，则OC OA OB =+(1cos 1sin )x x =++，…………………３分∴2()||f x OC =22(1cos )(1sin )x x =+++32(sin cos )x x =++………………………………………………４分3)4x π=++………………………………………………５分∴对称轴是42x k k Z πππ+=+∈，， 即对称轴是4x k k Z ππ=+∈，………………………………………………７分对称中心横坐标满足4x k k Z ππ+=∈，，即4x k k Z ππ=-∈，∴对称中心是(3)4k k Z ππ-∈，，………………………………………………９分（Ⅱ）．当22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，时()f x 单增，……………１０分即32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单增区间是3[22]44k k k Z ππππ-+∈，………………………１２分17．解：（Ⅰ）．散点图如图………………………………………………４分（Ⅱ）．7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，2()4375n x =∴71722170.797()i ii ii x y x yb xx ==-⋅=≈-∑∑， ………………………………………………６分4.32a y bx =-=- ………………………………………………８分∴回归直线方程是0.79 4.32y x =- ……………………………………９分（Ⅲ）．进店人数80人时，商品销售的件数0.7980 4.32y =⨯-59≈件………………………………………………１２分18．（Ⅰ）．证明：连接GE 、GCPAD ∆是等边三角形，G 为PD 边中点，∴AG PD ⊥…………………………１分 ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ CD ⊥平面PAD ………………………………２分∴CD AG ⊥，∴AG ⊥平面PCD ，∴AG CG ⊥…………………………………３分E F 、分别为PA 、BC 中点， ∴12GEAD ，12CFAD ，∴GE CF ，∴四边形CFEG 是平行四边形，∴CG EF ………………………………………………４分∴AG EF ⊥………………………………………………５分（Ⅱ）．（理）取AD 中点H ，连接PH ，在等边PAD ∆中，PH AD ⊥，则PH ⊥平面ABCD∴PH CH ⊥且PCH ∠是PC 与平面ABCD 所成的角，∴045PCH ∠=，………７分 设等边PAD ∆边长为a ，则32PH HC a ==，12DH a = 在矩形ABCD 中，2AB =，∴2222223114442CD CH DH a a a ==-=-= 解得22a =………………………………９分PH ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥DF 过P 做PK DF ⊥于K ，连接HK 则DF ⊥平面PHK则PKH ∠就是二面角P DF A --的平面角…１１分由6DF =及11222ADF s HK DF AB AD ∆=⨯⋅=⋅F KH PDCBA解得HK =∴在t R PDF ∆中，tan 2PH PKH HK ∠==………………………………………１２分∴求二面角P DF A --的正切值为2……………………………………………１４分 19．解：（I ） 依题意知,直线l 的方程为：1x =-．……………2分点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．……………4分 ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =．……………6分 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为：22(0)y x x =>．……………8分（II ）C y x M ∈∀) , (00,M 到y 轴的距离为00||x x d ==,…………9分 圆的半径2020)1(||y x MA r +-==, 0则12220222+-=-=x y d r TS ,C y x M ∈) , (00……………１2分 由（I ）知0202x y =,所以212202=+-=x y TS ,是定值．……………１４分 20．解：（理）由题设函数()f x 定义域是(2)-+∞，，…………………………………………1分函数2'24()222k x x kf x x x x ++=+=++………………① ………………………………………………２分（Ⅰ）．当2k >时，①式的1688(2)0k k ∆=-=-<，∴2240x x k ++>，又20x +>∴2'24()02x x kf x x ++=>+ ………………………………………………４分∴()f x 在(2)-+∞，上的单调递增．………………………………………………５分 （Ⅱ）．(1) 当2k ≥时，由（Ⅰ）知2'24()02x x k f x x ++=≥+， ∴()f x 在(2)-+∞，上的单调递增，故()f x 无极值点．……………………………７分(2) 当2k <时，由2240x x k ++=解得x =，此时'()0f x =当x <x >时，2240x x k ++>x <<时，2240x x k ++< ………………………………………………８分① 当0k ≤2≤-，2x -<<2'24()02x x k f x x ++=<+，22x -+>，2'24()02x x k f x x ++=>+∴()f x 在2(22-+-，上单减，在2()2-+∞，上单增，∴x =为极小值点，无极大值点．………………………………１０分② 当02k <<2>-，当2x -<<x >时，2'24()02x x k f x x ++=>+2222x --+<<时，2'24()02x x k f x x ++=<+∴()f x在上单减，在(2-和2()2-+∞，上单增，∴22x--=为极大值点，22x-+=为极小值点．……………１２分综上，0k≤时，x=为极小值点，无极大值点；02k<<时，x=为极大值点，x=为极小值点；2k≥时，()f x无极值点．………………………１４分21．解：（Ⅰ）．对任意(11)x y∈-、，有()()()1x yf x f y fxy--=-…………①∴令0x y==得(0)0f=；………………………………………………１分令0x=由①得()()f y f y-=-，用x替换上式中的y有()()f x f x-=-………………………………………２分∴()f x在(11)-，上为奇函数．………………………………………………３分（Ⅱ）．{()}nf x满足1112x=<，则必有1221nnnxxx+=+212nnxx<=否则若11nx+=则必有1nx=，依此类推必有11x=，矛盾∴01nx<<………………………………………………５分∴122()()()()11()n n nnn n nx x xf x f fx x x+--==+-⋅-()()()()2()n n n n nf x f x f x f x f x=--=+=∴1()2()nnf xf x+=，又11()()12f x f==∴{()}nf x是1为首项，2为公比的等比数列，…………………………………７分∴1()2nnf x-=………………………………………………８分（Ⅲ）．12121212()22n n n n n n f x ----==⨯………………………………………………９分 故23135212()2222n n n T -=++++……………………………………② 2341113523212()222222n n n n n T +--=⨯+++++………………………③ ②-③得2311111111212()2222222n n n n T -+-=⨯+++++- 2332n n +=-………………………………………………１１分 ∴12362n n n T -+=-6<………………………………………………１２分 ∴若632n m T -<对*n N ∈恒成立须6362m -≥，解得2m ≤……………………１３分 ∴m 的最大值为2． ………………………………………………１４分。